Konvergerande eller divergerande integral

Dela upp integralen i två delar

${\int }_1^{1.5}\frac{1}{\sqrt{(x - 1)(2 - x)}}dx+{\int }_{1.5}^2\frac{1}{\sqrt{(x - 1)(2 - x)}}dx$

På den vänstra kan du använda att

$\frac{1}{\sqrt{(x - 1)(2 - x)}}\le \frac{1}{\sqrt{(x - 1)·0.5}}$

Och på den högra kan du använda att

$\frac{1}{\sqrt{(x - 1)(2 - x)}}\le \frac{1}{\sqrt{0.5·(2 - x)}}$

Hej!

Eftersom $1 \leq x \leq 2$ så kan du skriva det som

    $x = 1.5 + 0.5\cos t$ där $0 \leq t \leq \pi.$

Det ger produkten

    $(x-1)(2-x) = 0.5^2(1+\cos t)(1-\cos t) = 0.5^2 \sin^2 t$

som ger integralen

    $\int_{t=\pi}^{0} \frac{dx}{0.5\sin t}.$

Uttryck nu $dx$ i termer av $t$ och $dt$ så är du klar. 

Albiki

Tack för svaren!