Konvergerande Summor

För vilka värden q konvergerar summan?

$\sum _{k=0}^{\infty }\frac{3k}{{(k+1)}^q}$

Mitt försök

Jag började med att försöka hitta två summor som är mindre respektive större till summan.

Tex)

$\sum _{k=0}^{\infty }\frac{3}{{(k+1)}^q}<\sum _{ k=0}^{\infty }\frac{3k}{{(k+1)}^q}<\sum _{k=0}^{\infty }\frac{3k}{{\left(k\right)}^q}$

=> $\sum _{k=0}^{\infty }{(k+1)}^{-q}\underset{ k=0}{\overset{ \infty }{<\sum }}\frac{k}{(k+1)}$^q<$\sum _{k=0}^{\infty }{k}^{1-q}$

Nu undrar jag om vilka q, som  $\sum _{k=0}^{\infty }{k}^{1-q}$och $\sum _{k=0}^{\infty }{(k+1)}^{-q}$,konvergerar.

För$\sum _{k=0}^{\infty }{k}^{1-q} =\sum _{k=0}^{\infty }\frac{1}{k^{q-1}}$, ger oss att $q>2$.

(jag vet att det blir problem vid k=0, men vet ej hur jag ska undvika det)

För$\sum _{k=0}^{\infty }{(k+1)}^{-q}=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{1}{{(k+1)}^q} ger oss q>1$

Vilket inte känns fel. Hjälp!