Konvergerar serien?

$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{e} - e^{k}}$

Det som fortfarande är utmanade för mig är att man i universitetsmatte måste hänvisa satser och åberopa saker på ett helt annat sätt än vad man gör i gymnasiet.

Här tänker jag att när k går mot oändligheten kommer k^e växa mindre snabbt än e^k, men jag kan inte faktorisera ut k för att se vad gränsvärdet blir.

1. Isåfall är uttrycket nästan som $- \frac{1}{e^{k}}$ för riktigt stora k. (Vet ej hur jag ska bevisa detta)

2. För stora k värden kommer e^k bli större och större --> Alltså blir gränsvärdet -0

3. Därför skulle jag säga att serien är konvergent

Detta är tydligen rätt men argumenten känns inte alls tillräckliga.

Tror ni det är godkänt eller är det något jag inte tänkt på som jag borde redovisa?

Tack på förhand!

Att $1/e^k \to 0$ då $k\to \infty$ är inte tillräckligt argumenterat för att dra slutsatsen att serien konvergerar. Exempelvis divergerar

$\displaystyle \frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+ \dots$

även om termerna i serien går mot $0$ .

För att visa att summan $\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{e^k}$ konvergerar kan du använda formeln för geometriska serier, vilket bör vara en sats i någon form i din kurs.

För din första punkt finns det några olika sätt att resonera. Ett sätt är exemplevis att skriva om $\displaystyle \frac{1}{k^e - e^k} = \frac{e^{-k}}{\frac{k^e}{e^k}-1}.$

Om du kan visa att $\lim_{k\to \infty} \frac{k^e}{e^k} = 0$ så finns det något $N$ där $\frac{k^e}{e^k}<1/2$ om $k>N$ (varför?). Med hjälp av detta kan man bygga upp en trevlig olikhet för att visa att serien konvergerar.

Om det jag skrev ovan känns förvirrande kan du experimentera med följande sats

Svara