Konvergerar serien?

Att $1/e^k \to 0$ då $k\to \infty$ är inte tillräckligt argumenterat för att dra slutsatsen att serien konvergerar. Exempelvis divergerar

$\displaystyle \frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+ \dots$

även om termerna i serien går mot $0$.

För att visa att summan $\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{e^k}$ konvergerar kan du använda formeln för geometriska serier, vilket bör vara en sats i någon form i din kurs. 

För din första punkt finns det några olika sätt att resonera. Ett sätt är exemplevis att skriva om $\displaystyle \frac{1}{k^e - e^k} = \frac{e^{-k}}{\frac{k^e}{e^k}-1}.$

Om du kan visa att $\lim_{k\to \infty} \frac{k^e}{e^k} = 0$ så finns det något $N$ där $\frac{k^e}{e^k}<1/2$ om $k>N$ (varför?). Med hjälp av detta kan man bygga upp en trevlig olikhet för att visa att serien konvergerar. 

Om det jag skrev ovan känns förvirrande kan du experimentera med följande sats

AlexMu skrev:

Att $1/e^k \to 0$ då $k\to \infty$ är inte tillräckligt argumenterat för att dra slutsatsen att serien konvergerar. Exempelvis divergerar

$\displaystyle \frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+ \dots$

även om termerna i serien går mot $0$.

För att visa att summan $\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{e^k}$ konvergerar kan du använda formeln för geometriska serier, vilket bör vara en sats i någon form i din kurs. 

---

För din första punkt finns det några olika sätt att resonera. Ett sätt är exemplevis att skriva om $\displaystyle \frac{1}{k^e - e^k} = \frac{e^{-k}}{\frac{k^e}{e^k}-1}.$

Om du kan visa att $\lim_{k\to \infty} \frac{k^e}{e^k} = 0$ så finns det något $N$ där $\frac{k^e}{e^k}<1/2$ om $k>N$ (varför?). Med hjälp av detta kan man bygga upp en trevlig olikhet för att visa att serien konvergerar. 

Om det jag skrev ovan känns förvirrande kan du experimentera med följande sats

Okej, jag tänker att jag jämför med den geometriska $\sum _{k=1}^{\infty }{\left(\frac{1}{e}\right)}^k$ som vi vet är kovergent eftersom för generella geometriska serier $\sum _{k=1}^{\infty }{r}^k$om $\left|r\right| <1$

1. Vi har en konvergent serie (1/e)^k

2. Nu ska jag försöka använda formeln du tipsade om. Jag vet ej hur jag ska bevisa att $\underset{k\to \infty }{\lim }\frac{k^e}{e^k}$går mot 0 mer än att jag vet att e^k växer fortare än k^e

Från sats 10.9 där j får vara k:

$\underset{k\to \infty }{\lim }\frac{a_k}{b_k}=\frac{-{\left({\displaystyle \frac{1}{e}}\right)}^k}{k^e-e^k}=\frac{1}{-e^k(k^e-e^k)}$=0

Men nu är ju problemet att gränsvärdet går mot 0 och då är det testet värdelöst

Edit:

Det var jag som gick för fort. Det blir inte som skrivit över utan: $\frac{({{\displaystyle \frac{1}{e}})}^k}{{\displaystyle \frac{1}{k^e-e^k}}}=\frac{k^e-e^k}{e^k}$

Tar man sedan gränsvärdet så går det mot -1 som inte är 0

Nästan rätt med satsen, du har missat en viktig del, serierna måste vara positiva. Det är inte $\frac{1}{k^e - e^k}$ för de flesta termerna. Egentligen kan man ändra påståendet från "positiva" till "negativ för ändligt många termer" och satsen skulle fortfarande gälla (varför?). Då kan du applicera satsen och gränsvärdet på exakt samma sätt fast med $-\frac{1}{k^e - e^k}$ istället, eftersom för stora $k$ är $k^e - e^k < 0.$

Det satsen egentligen säger är att om $a_n$ och $b_n$ förändras på samma sätt så beter sig respektive serier på samma sätt (antingen båda divergerar eller båda konvergerar). Som du själv har sagt kommer $\frac{1}{k^e - e^k}$ ungefär bete sig som $-\frac 1{e^k}$ för stora $k$, det är det den här satsen formaliserar. Man måste bara vara lite försiktig så att man följer alla antagelser!