Koordinater och basbyten

P är basbytesmatrisen från B till C. Ofta betecknad P_B->C.

Kolonnerna i denna basbytesmatris utgörs av koordinaterna för basvektrorerna i basen B relativt basen C.

Det vill säga

P = $\left[\begin{array}{cc}{\left[{\overrightarrow{b}}_1\right]}_C& {\left[{\overrightarrow{b}}_2\right]}_C\end{array}\right]$.

Är detta bekant? 

Annars kan du välja $\overrightarrow{v}={\overrightarrow{b}}_1$i matrisekvationen som ges i problemet.

$P{\left[{\overrightarrow{b}}_1\right]}_B=P\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]=Co{l}_1\left(P\right)={\left[{\overrightarrow{b}}_1\right]}_C$.

Den första kolonnen i P är således koordinaterna för den första basvektorn i B relativt basen C.

Du kan på ta fram den andra kolonnen på motsvarande sätt genom att sätta $\overrightarrow{v}={\overrightarrow{b}}_2$ i matrisekvationen.

Så nästa steg blir att bestämma ${\left[{\overrightarrow{b}}_1\right]}_C$ och ${\left[{\overrightarrow{b}}_2\right]}_C$.

PATENTERAMERA skrev:

P är basbytesmatrisen från B till C. Ofta betecknad P_B->C.

Kolonnerna i denna basbytesmatris utgörs av koordinaterna för basvektrorerna i basen B relativt basen C.

Det vill säga

P = $\left[\begin{array}{cc}{\left[{\overrightarrow{b}}_1\right]}_C& {\left[{\overrightarrow{b}}_2\right]}_C\end{array}\right]$.

Är detta bekant? 

Annars kan du välja $\overrightarrow{v}={\overrightarrow{b}}_1$i matrisekvationen som ges i problemet.

$P{\left[{\overrightarrow{b}}_1\right]}_B=P\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]=Co{l}_1\left(P\right)={\left[{\overrightarrow{b}}_1\right]}_C$.

Den första kolonnen i P är således koordinaterna för den första basvektorn i B relativt basen C.

Du kan på ta fram den andra kolonnen på motsvarande sätt genom att sätta $\overrightarrow{v}={\overrightarrow{b}}_2$ i matrisekvationen.

Så nästa steg blir att bestämma ${\left[{\overrightarrow{b}}_1\right]}_C$ och ${\left[{\overrightarrow{b}}_2\right]}_C$.

Jag förstår så långt till P = [[b₁]_C [b₂]_C] Men jag förstår inte hur man ska räkna ut vad tex [b₁]_C är, eller alltså hur gör man om en basvektor i B till basen C

${\left[{\overrightarrow{b}}_1\right]}_C=\left[\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \end{array}\right]$ om och endast om ${\overrightarrow{b}}_1=\alpha {\overrightarrow{c}}_1+\beta {\overrightarrow{c}}_2$.

Så du bör lösa ekvationen

$\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]=\alpha \left[\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right]+\beta \left[\begin{array}{c}-1\\ 3\end{array}\right]$ för $\alpha och \beta$.

PATENTERAMERA skrev:

${\left[{\overrightarrow{b}}_1\right]}_C=\left[\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \end{array}\right]$ om och endast om ${\overrightarrow{b}}_1=\alpha {\overrightarrow{c}}_1+\beta {\overrightarrow{c}}_2$.

Så du bör lösa ekvationen

$\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]=\alpha \left[\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right]+\beta \left[\begin{array}{c}-1\\ 3\end{array}\right]$ för $\alpha och \beta$.

Okej och sen ska man lösa:

[1 ; 2] = a[ 2 ;-1 ] + B[-1 ;3]
eller ska det vara tex c och d istället för A och B? Varför isf?

Det är obekanta variabler som du skall försöka räkna fram värdena på så att ekvationen blir uppfylld. Du kan kalla dom vad du vill. x och y om du tycker det är lättare.