koordinater till punkt på parabel

Du kan skriva parabeln på formen:

$y(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$

där

$x_1$ resp. $x_2$ är dess nollställen.

Det finns information i uppgiften för att bestämma dessa och parametern a.

Parabeln f(x) ser ut att ha ett minimum i punkten x=0, y=0. Det betyder att dess derivata f'(0)=0 och att f''(0)>0. Vidare vet vi att parabeln går genom punkten (-100,100). det betyder att f(-100)=100.

Kan du med ledningen av detta bestämma ekvationen för parabeln?

Vad ska gälla (i en viss punkt på parabeln) för att bilens strålkastare ska vara riktade rakt mot Viktor?

Om du vill tjuvkika på tidigare lösningar av samma uppgift, kolla här.

Eller här.

Eller här.

Här...

här..

o.s.v. :-)

Yngve skrev :

Om du vill tjuvkika på tidigare lösningar av samma uppgift, kolla här.

Eller här.

Eller här.

Här...

här..

o.s.v. :-)

Så nu löste jag den. Innan förstod jag verkligen ingenting. Tack ska ni ha!

Det som är kul med den här uppgiften är att den matematiska modellen av den fysiska verkligheten ger två lösningar. I början kan det vara förvirrande men när vi går tillbaka till den fysiska verkligheten och tolkar den oväntade extra lösningen så ser vi att även den har en fysisk motsvarighet, nämligen baklysena eller en bil som kommer från andra hållet.

Heja matematiken! Den ger svar även på sådant vi inte ens frågat om.

Hej!

När bilens strålkastare är riktade rakt mot Viktor befinner sig bilen i en punkt med koordinaterna $(x_B,y_B)$, där $y_B = ax_B^2$ och $a>0$. Eftersom strålkastarna pekar rakt mot Viktor så är linjen mellan Viktor och bilen samma sak som vägkurvans tangent beräknad vid bilens position.

Två-punktsformen för räta linjens ekvation ger ekvationen för den räta linjen mellan Viktors position och bilens position.

    $\displaystyle y - 50 = \frac{50-ax_{B}^2}{100-x_B}(x-100)$.

En-punktsformen för räta linjens ekvation ger ekvationen för vägkurvans tangent beräknad vid bilens position.

    $\displaystyle y - ax_B^2 = 2ax_B(x-x_B).$

Viktors position $(100, 50)$ ligger på vägkurvans tangent, vilket betyder att

    $\displaystyle 50 - ax_B^2 = 2ax_B(100-x_B).$

Detta är en andragradsekvation för bilens x-koordinat ($x_B$).

    $\displaystyle ax_B^2 - 200ax_B + 50 = 0.$

Ekvationens två möjliga lösningar ges av PQ-formeln.

    $\displaystyle x_B = 100 + \sqrt{10000-\frac{50}{a}}$ och

    $\displaystyle x_B = 100 - \sqrt{10000-\frac{50}{a}}.$

Talet $a$ bestäms av att du vet att punkten $(-100, 100)$ ligger på vägkurvan:

    $\displaystyle 100 = a(-100)^2,$

vilket betyder att $50/a = 5000$ och följaktligen kan bilen vara i punkten $(x_B, y_B) = (30, 9)$ alternativt i punkten $(x_B, y_B) = (170, 289).$

Albiki

Albiki skrev :

Hej!

När bilens strålkastare är riktade rakt mot Viktor befinner sig bilen i en punkt med koordinaterna $(x_B,y_B)$, där $y_B = ax_B^2$ och $a>0$. Eftersom strålkastarna pekar rakt mot Viktor så är linjen mellan Viktor och bilen samma sak som vägkurvans tangent beräknad vid bilens position.

Två-punktsformen för räta linjens ekvation ger ekvationen för den räta linjen mellan Viktors position och bilens position.

    $\displaystyle y - 50 = \frac{50-ax_{B}^2}{100-x_B}(x-100)$.

En-punktsformen för räta linjens ekvation ger ekvationen för vägkurvans tangent beräknad vid bilens position.

    $\displaystyle y - ax_B^2 = 2ax_B(x-x_B).$

Viktors position $(100, 50)$ ligger på vägkurvans tangent, vilket betyder att

    $\displaystyle 50 - ax_B^2 = 2ax_B(100-x_B).$

Detta är en andragradsekvation för bilens x-koordinat ($x_B$).

    $\displaystyle ax_B^2 - 200ax_B + 50 = 0.$

Ekvationens två möjliga lösningar ges av PQ-formeln.

    $\displaystyle x_B = 100 + \sqrt{10000-\frac{50}{a}}$ och

    $\displaystyle x_B = 100 - \sqrt{10000-\frac{50}{a}}.$

Talet $a$ bestäms av att du vet att punkten $(-100, 100)$ ligger på vägkurvan:

    $\displaystyle 100 = a(-100)^2,$

vilket betyder att $50/a = 5000$ och följaktligen kan bilen vara i punkten $(x_B, y_B) = (30, 9)$ alternativt i punkten $(x_B, y_B) = (170, 289).$

Albiki

Av dessa två möjliga lösningar är det bara en som efterfrågas.

Den andra får vi på köpet och skulle kunna tolkas som det fallet att bilen ursprungligen står vänd åt nordväst och sedan backar längs med vägen.