Koordinaterna för fokus

Hej och välkommen till Pluggakuten!

För en godtycklig punkt på parabeln så gäller att avståndet från punkten till fokus är lika med det vinkelräta avståndet från punkten till styrlinjen.

Rita en figur med ett koordinatsystem, en horisontell styrlinje, en fokuspunkt på y-axeln och en parabel mellan dessa. Rita in en godtycklig punkt P på parabeln och markera de avstånd jag beskrev ovan, så kan vi gå vidare därifrån.

Visa din bild.

Så här?

Ja, det duger utmärkt.

(Egentligen ska styrlinjen ligga lite längre ner, men det spelar ingen roll för just denna uppgift.)

Döp nu punkten på parabeln till P och fokuspunkten till F.

Låt koordinaterna för P vara (x_P, y_P) och koordinaterna för fokuspunkten vara (0, y_F).

Styrlinjen kan du kalla y = y_S.

Försök nu att formulera det jag skrev i mitt första svar som relationer mellan dessa koordinater 

Bra.

Jag inför punkten S med koordinater (x_P, y_S), se bild

Då gäller att |FP| = |PS|, vilket du kan formulera med hjälp av avståndsformeln, där du använder x_P, y_P, y_F och x_S.

Ställ upp den ekvationen och använd sedan att koordinaterna för punkten P är kända samt att avståndet |FP| är känt. 

okej nu har jag säkert missförstått något och gjort fel.

Eftersom |FP| = |PS| så gäller även att |FP|² = |PS|².

Vi vet att |FP| = 15 l.e, att P = (9, 17) och att S = (9, y_S).

Det ger oss att 15² = (9-9)² + (17-y_S)², dvs att 15² = (17-y_S)².

Kommer du vidare då?

Andvände PQ formeln för att få 2 svar för Ys= 32 och Ys=2

OK det stämmer.

(Men det hade varit enklare att dra roten ur bägge led, på följande sätt:

$15^2=(17-y_S)^2$

$\pm15=17-y_S$

$y_{S1}=17-15=2$

$y_{S2}=17+15=32$)

Titta nu på din skiss och avgör om någon av dessa lösningar är orimlig.

Om jag har förstått rätt nu, Ys=2 är i så fall orimlig eftersom jag har redan löst styrlinjens ekvation vilket är (0,2) och frågan säger att styrlinjen ligger under fokus.

Du säger att (0,2) är styrlinjens ekvation,men (0,2) är en punkt, inte en ekvation.

Styrlinjens ekvation är y = y_s.

Tycker du då fortfarande att y_S = 2 är orimligt?

======

Faktaruta:

• Om styrlinjen ligger under fokuspunkten så är parabeln en positiv andragradare (formad som ett $\cup$).
• Om styrlinjen ligger ovanför fokuspunkten så är parabeln en negativ andragradare (formad som ett $\cap$).

Okej men hur kommer man fram till svaret att fokus är (0,5) ?

Ojdå, jag läste din fråga fel och trodde att du var ute efter styrlinjens ekvation.

Att bestämma fokuspunktens koordinater är mycket enklare., se bild:

Oj då, okej tack så jättemycket nu har jag löst det. Tack tack

Det blev en utvikning som inte var relevant för din fråga, men om vi ser positivt på det så har du nu förhoppningsvis en större förståelse för hur fokus, parabel och styrlinje hänger ihop?