Koordinatgeometri, lösa ut en punkts y-koordinat samt bevisa vinkelräta linjer

Hejsan!

Har en fråga som jag inte lyckats lösa som jag hoppas kunna få lite hjälp med. Har frågat min lärare om hjälp men vi kunde inte komma fram till hur man ska göra, tänkte att jag skiter I den men kunde inte riktigt släppa den så vänder mig även till er. Frågan är uppdelat i två delar, a) och b) och lyder såhär:

Punkten P(3, y) ligger lika långt från origo, O, som från punkten Q(2, 4).

a) Bestäm y.

b) Visa att sträckan OP är vinkelrät mot sträckan PQ.

Jag tänker jag börjar förklara hur jag tolkade och räknade på fråga a) o hur jag gjorde därifrån för enligt facit har jag rätt svar på fråga a) men för att få det att stämma överens med fråga b) tror jag att jag ska tolka det på ett annat sätt men isånnafall känns det inte som facit stämmer för fråga a) istället, det är antagligen jag som tänker helt snett så ska försöka vara tydlig så får vi se vart det blivit galet.

 

Min första tolkning av texten var att punkten P(3, y) och punkten Q(2, 4) har samma avstånd till origo, O(0, 0). Därför började jag att räkna ut distansen mellan punkt Q(2, 4) och origo, O(0, 0) med avståndsformeln och fick följande:

$d_{QO} = \sqrt{{(2-0)}^2+{(4-0)}^2 }= \sqrt{2^2+4^2 }= \sqrt{4+16}= \sqrt{20}$

Och eftersom min tolkning var att punkten P(3, y) och punkten Q(2, 4) ska ha samma distans till origo, O(0, 0) så betyder ju det att följande måste stämma för distansen $d_{PO}$

$\sqrt{{(3-0)}^2+ {(y - 0)}^2} = \sqrt{20}$

Därifrån valde jag då att att bara "ignorera" rottecknen och lösa ut y vilket ger följande:

$$\begin{gathered} 3^2 + y^2 = 20 \\ 9 + y^{2 } = 20 \\ {y}^2 = 11 \\ y = \pm \sqrt{11} \end{gathered}$$

Och där har jag då svaret på fråga a) vilket stämmer överens med facit, när jag nu går vidare till fråga b) kör det ihop sig och det är här jag tänker att jag tolkat frågan fel, jag börjar med att gå igenom hur jag tänkt samt vad facit säger är rätt så förklara jag sen den andra tolkningen jag har av frågan.

 

För att visa att sträckorna är vinkelräta vill jag bevisa att produkten av deras k-värde är -1 så jag börjar med att räkna ut deras k-värde, detta ger följande beräkningar: 

Sträckan OP:

$k_{OP} = \frac{\sqrt{11}-0}{3-0} = \frac{\sqrt{11}}{3}$

Sträckan PQ:

$k_{PQ} = \frac{4 - \sqrt{11}}{2 - 3} = \frac{4 - \sqrt{11}}{-1} = -4 + \sqrt{11}$

 

För att nu då bevisa att sträckorna är vinkelräta måste ju följande stämma:

$k_{OP} \times k_{PQ} = -1$

Vilket med våra k-värden ger:

$\frac{\sqrt{11}}{3} \times (-4 + \sqrt{11}) \approx -0.75$

Vilket betyder att sträckorna inte är vinkelräta eftersom detta ger:

$k_{OP} \times k_{PQ} \ne -1$

 

Däremot säger facit följande:

a) $y =\pm \sqrt{11}$ (Detta stämmer alltså överens med mitt svar)

b) Lösning: 

($y_2$ här är ju 1 vilket i mitt exempel ovan istället är $\sqrt{11}$ men eftersom dom har en etta istället fick det mig att tolka frågan på ett annat vis vilket jag går igenom lite längre ner)

$$\begin{gathered} k_{OP} = \frac{1-0}{3 - 0} = \frac{1}{3} \\ {k}_{PQ} = \frac{4-1}{2 - 3}= \frac{3}{-1} = -3 \\ {k}_{OP} \times k_{PQ} = \frac{1}{3} \times (-3) = -1 \\ OP är vinkelrät mot PQ. \\ VSV \end{gathered}$$

När jag insåg att jag hade tänkt fel gick jag tillbaka o läste frågan igen, den här gången tolkade jag den istället att det är samma distans mellan punkten P(3, y) och origo, O(0,0) som det är mellan punkten P(3, y) och punkten Q(2, 4).  Detta skulle ju betyda att följande måste gälla:

$d_{OP}= d_{PQ}$

Skrivet med avståndsformeln får vi:

$\sqrt{{\left(3-0\right)}^2 + {\left(y-0\right)}^2} = \sqrt{{\left(3-2\right)}^2+ {\left(y - 4\right)}^2}$

Om vi återigen "ignorerar" rottecknen får vi följande ekvation för att lösa ut y:

$$\begin{gathered} {\left(3-0\right)}^2 + {\left(y-0\right)}^2 = {\left(3-2\right)}^2+ {\left(y - 4\right)}^2 \\ {3}^2 + y^2 = 1^2+ {\left(y - 4\right)}^2 \\ 9+y^2= 1+ y^2 - 8y +16 \\ 8y = 8 \\ y = 1 \end{gathered}$$

Detta stämmer ju då överens med beräkningarna i facit för fråga b) men det stämmer inte överens med facit på fråga a). Jag har som sagt tagit upp detta lite snabbt med min lärare men ingen av oss kunde förstå vart jag tänker fel så han tyckte jag skulle strunta i frågan men kan inte riktigt släppa den så vänder mig hit också, tacksam för all input jag kan få :)