Kört fast på talet...(Differentialekvation)

Välkommen till Pluggakuten!

Hur långt har du kommit själv?

Jag har tagit andra liknande tal men jag har ingen lärare utan jag gör detta för det är roligt.

Hur långt har du kommit själv på den här uppgiften?

Jag har lagt ner tid på den..men inte löst den..

Jag är egentligen inte rätt person att hjälpa dig men står inte tydligt i din lärobok eller dina anteckningar vad variabelseparationsmetoden innebär? 

Edit: det står tydligt på engelska och till och med svenska wikipedia hur man gör, följ detta: https://sv.m.wikipedia.org/wiki/Variabelseparation

Axel72 skrev:

Jag har lagt ner tid på den..men inte löst den..

Om du har lagt ner tid på den har du säkert en massa (misslyckade) anteckningar om vad du har gjort, så att vi har en chans att veta var vi skall börja för att kunna hjälpa dig. Det står i Pluggakutens reger att du skall visa hur du har försökt och hur långt du har kommit /moderator

Låt $u(x,t)=X(x)T(t)$

Då kan ekvationen skrivas

$X''(x)T(t)=tX(x)T^{'}(t)$

R.V $X(0)=X(\pi)=0$

$\frac{X''(x)}{X(x)}=t\frac{T^{'}(t)}{T(t)}=A$

Där $A$ är en godtycklig (kanske komplex) konstant. Låt $\lambda=\sqrt{-A}$

Differentialekvationen $X''-AX=0$ har den allmänna lösningen

$X(x)=C_1\cos(\lambda x)+C_2\sin(\lambda x)$

Nu ger RV1 att $C_1=0$ och för att vi inte enbart ska ha den triviala lösningen $0$ då vi ansätter RV2 låter vi $\lambda \pi = n\pi$ för någon konstant $C_2$ och något $n\in \mathbb{Z}$

Så $X(x)=C_2\sin(nx)$

Lös T(t) kom ihåg att $A=-\lambda^2=-n^2$, sätt samman lösningarna. Varje lösning med olika val av $C_2$ och andra konstanter är giltig. Vi kan alltså hitta fler lösningar genom linjärkombinationer av lösningarna. Sätt samman lösningarna som en oändlig summa. Ansätt bv och visa att svaret i facit stämmer.

Bonus: visa att den oändliga serien konvergerar.

Jag skall kolla upp detta..Tack så mycket...😃

Löst talet...tack