Kp(X) - q(X) = 0
Hej! Jag försöker lösa en uppgift där jag ska bestämma en gemensam rot till ekvationerna
3x3-2x2-7x-2 = 0
&
6x3-x2-4x-1 = 0
Min första tanke var att gissa mig fram till en rot. Men jag försökte mest med heltal. Dock såg jag sedan att det stod såhär i facit "om X= a är en gemensam rot till ekvationerna p(X) = 0 & q(X) = 0 så är X=a också en rot till ekvationen KP(X) - q(X) = 0. Välj k 'lämpligt'"
Jag ställde då upp ekvationen så här:
K(3x3-2x2-7x-2) - (6x3-x2-4x-1) = 0
3kx3-2kx2-7kx-2k = 6x3-x2-4x-1
Borde inte detta innebära att koefficienten framför de olika termerna ska vara lika på vardera sida DVS.
3k = 6
K = 6/3 = 2
Dock får jag då olika värden på i i så fall:
-2k=-1
K = 1/2
7k= 4
K=4/7
-2k=-1
K = 1/2
Det stämmer alltså inte:( hur bör jag tänka istället?
Tack på förhand!
Det ena polynomet är ju inte en ren multipel av den andra, men det är bra nog att kunna bli av med x3-termen. Det som är kvar (en andragradsekvation) kan du ju lösa.
Men om jag bryter ut ett X för att få bort x3-termen kommer det ju bli att jag måste dela 2 med X i första ekvationen?
3(x2-2x-7-2/X) ?
Du blir av med x3-termen genom att sätta k till ett lämpligt värde.
Tack!!
Om k = 2 får jag:
6x3 - 4x2-14x-4 = 6x3-x2-4x-1
= 3x2+10x +3 = 0
3(x2+10x/3 + 1) = 0
(X+10/6)2 = -1 + 100/36
(X+10/6)2 = 64/36
√(X+10/6)2 = √(64/36)
X + 10/6 = +-8/6
X = (-10 +-8)/6
X1 = -3
X2= -1/3
Dock ger prövning:
Om X = -3:
3(-3)3 -2(-3)2-7(-3) -2 =
81 -18 + 21 - 2 = 81 =|= 0
Alltså är inte X= -3 en rot till bägge ekvationerna medan
X= -1/3 får jag
-3/27-2/9+7/3-2 =
(1-2+21-18)/9 = 0
Och
6(-1/3)3 -(-1/3)2-4(-1/3)-1 =
-6/27 - 1/9 + 4/3 -1 =
(-6-3+36-27)/27 = 0
Alltså stämmer endast X = -1/3 som rot för bägge ekvationerna.
