13 svar
196 visningar
Idil M 275
Postad: 15 apr 2018

kraftfält

Hej

jag skulle behöva lite hjälp med följande uppgift:

Låt γ beteckna skärningen mellan ytan z=x2+y2 och planet z=1+2x. 

Beräkna det arbetet kraftfältet F=(0,x,-y) uträttar då kurvan γ genomlöps ett varv i positiv led kring z-axeln.

Jag börjar med att beräkna skärningspunkten genom att sätta x2+y2-2x-1=0

Vi har även kraftfältet F= 0i+xj-yk

men hur ska man ta sig vidare efter det?

SeriousCephalopod 686
Postad: 15 apr 2018 Redigerad: 15 apr 2018

När man ska beräkna arbetet över en sluten kurva existera två huvudsakliga alternativ.

1. Att använda Stokes sats i de fall fältets krökning har en enkel form (vilket är fallet i detta fall)

2. Att parametrisera kurvan och sätta in parametriseringen i fältet och lösa den korresponderande envariabelsintegralen.

Christian Savemark 15
Postad: 16 apr 2018 Redigerad: 16 apr 2018

Du kan kvadratkomplettera ekvationen du har skrivit upp. Notera att det inte är frågan om bara en skärningspunkt, vi har

x2+y2-2x-1=0<=>(x-1)2-1+(y-0)2-1=0<=>(x-1)2+(y-0)2=2 x^2 + y^2 - 2x - 1 = 0 <=> (x-1)^2 - 1 + (y-0)^2 - 1 = 0 <=> (x-1)^2 + (y-0)^2 = 2

som vi känner igen som mängden av alla punkter (x,y) (x, y) sådana att avståndet till punkten (1,0) (1, 0) är (2) \sqrt(2) . En cirkel alltså. Cirklar kan vi enkelt parametrisera och i det här fallet är en sådan parametrisering

x=1+(2)cos(t) x = 1+\sqrt(2)\cos(t)
y=(2)sin(t) y = \sqrt(2)\sin(t)
0t2π 0 \leq t \leq 2\pi

Jag tror att det här är en bra början för resten av uppgiften.

Idil M 275
Postad: 16 apr 2018

Uppgiften ska lösas m.h.a Stokes sats och den ger väl oss  y=yrotF*ndS

Vi ska nu räkna ut rotationen av fältet F som rotF=×FRy-Qz,Pz-Rx,Qx-Py men där har jag lite svårt.  Vi har ju att F=(0,x,-y)=(P,Q,R) så får vi då:

×F=-yy-xz,0z--yx,xx-0y

Idil M 275
Postad: 18 apr 2018

ska man alltså sätta ×F=x,y,z×0,x,-y= xx+y-y+z0 då skulle vi ju få 1-1=0

Guggle 1178
Postad: 18 apr 2018 Redigerad: 18 apr 2018

Hej Idil,

När man arbetar vektorer är det viktigt att skilja på kryssprodukten ×F \nabla \times \mathbf{F} som kallas rotationen av F och skalärprodukten ·F \nabla \cdot \mathbf{F} som kallas divergensen av F.

Det du räknat ut är divergensen (skalärprodukten ·F \nabla \cdot \mathbf{F} ).

För att räkna ut rotationen ×F \nabla \times \mathbf{F} som används i Stokes sats kan du använda Sarrus regel för kryssprodukter.

×F=e1e2e3xyz0x-y=-e1+e3=(-1,0,1) \nabla\times \mathbf{F}=\begin{vmatrix} \mathbf{e}_1& \mathbf{e}_2& \mathbf{e}_3 \\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ 0& x & -y\\ \end{vmatrix}=-\mathbf{e}_1+\mathbf{e}_3=(-1,0,1)

Idil M 275
Postad: 18 apr 2018

med hjälp av sarrus regel får vi alltså 

e1e2e3e1e2xyzxy0x-y0x

men jag kommer inte fram till -e1+e3=-1,0,1

man ska väl multiplicera ihop e1×y×-y+e2×z×0+e3×x×x-e2×x×-y-e1×z×x-e3×y×0

men hur får vi då -e1+e3

Guggle 1178
Postad: 18 apr 2018 Redigerad: 18 apr 2018

Bra, nu har du fått rätt kryssprodukt!

Men du kanske är osäker på hur man deriverar? För att ta några exempel i din kryssprodukt

e1y(-y)=-e1 \mathbf{e}_1\frac{\partial }{\partial y}(-y)=-\mathbf{e}_1

e3x(x)=e3 \mathbf{e}_3\frac{\partial }{\partial x}(x)=\mathbf{e}_3

Samt

e1z(x)=0 \mathbf{e}_1\frac{\partial }{\partial z}(x)=0

Är du med på att det du skrivit alltså är ×F=(-1,0,1) \nabla \times \mathbf{F}=(-1,0,1) ?

Idil M 275
Postad: 18 apr 2018

okej så man har alltså i det första exemplet e1×1×-1=-e1 då derivatan av -y blir -1. 

Ja nu är jag med på det, tack.

När vi nu har räknat fram rotationen av fältet F till ×F=-1,0,1) så blir väl nästa steg att ta fram ytans enhetsnormalvektor, och i detta fall har vi ju ytan z=x2+y2 men sedan har vi ju även planet z=1+2x

Guggle 1178
Postad: 19 apr 2018

Ja, du har två ytor att välja mellan. Fältet kommer ge dig samma värde på integralen oavsett vilken yta du väljer.

Men den plana ytan (dvs z=1+2x) ger dig en enklare normal att integrera (den är konstant över hela ytan) till skillnad från den buktiga ytan.

Vad också noga med att orientera normalen åt rätt håll med ledning av denna mening i din uppgiftsformulering: "då kurvan genomlöps ett varv i positiv led kring z-axeln."

Idil M 275
Postad: 19 apr 2018 Redigerad: 19 apr 2018

okej om vi då väljer ytan z=1+2x kan man inte ta fram normalen som  N=x,y,z=2,0,-1

Guggle 1178
Postad: 19 apr 2018 Redigerad: 19 apr 2018

Det är en normal till ytan, men den pekar åt fel håll. Planets normal ska peka uppåt utmed z-axeln eftersom vi ska gå ett varv runt z-axeln i positiv led.

Vänder på du din normal åt andra hållet får du en normal som orienterar ytan åt rätt håll n=(-2,0,1) \vec{n}=(-2,0,1)

Slutligen ska du integrera över området i planet. Området ligger över en cirkel i xy-planet med centrum i (1,0) och med radien 2 \sqrt 2 . Eftersom du har en konstant integrand och redan har normalen normerad för z=1 räcker det med att multiplicera den med arean för området i xy-planet.

Vill du använda en parametrisering r(x,y)=(x,y,2x+1) \mathrm{r}(x,y)=(x,y, 2x+1) blir det vektoriella ytelementet dS=(-2,0,1)dxdy=ndxdy|nz| \mathrm{d}\mathbf{S}=(-2,0,1)dxdy=\vec{n}\frac{dxdy}{|\vec{n_z}|}

Idil M 275
Postad: 19 apr 2018

kan man då ställa upp en dubbelintegral 02π02F×ndS 

och i har att rotationen räknade vi fram till (-1,0,1) och normalen till (-2,0,1) så tar vi då (-1,0,1)(-2,0,1)=2

så vi får 02π022dS

Guggle 1178
Postad: 19 apr 2018 Redigerad: 19 apr 2018

Nja det är nästan rätt, men nu slarvade du med beräkningen av skalärprodukten

(-1,0,1)·(-2,0,1)dxdy=((-1)·(-2))+0+1)dxdy=3dxdy (-1,0,1)\cdot(-2,0,1)dxdy=((-1)\cdot(-2))+0+1)dxdy=3dxdy

Så du har integralen

D3dxdy \iint_D 3dxdy

Om du nu byter till polära koordinater måste du komma ihåg att byta dxdy dxdy mot rdrdφ r\,drd\varphi , alltså får du

D3dxdy=02π023rdrdφ \displaystyle \iint_D 3dxdy= \int_0^{2\pi}\int_0^{\sqrt2}3r\,drd\varphi

Edit: formellt gör du

x=1+rcos(φ) x=1+r\cos(\varphi)

y=rsin(φ) y=r\sin(\varphi)

Men på riktigt tänker du bara " D3dxdy \iint_D 3dxdy är arean av cirkeln multiplicerat med 3"

Svara Avbryt
Close