Krånglig fouriertransform uppgift

Den givna funktionen $f$ är udda (d.v.s. symmetrisk i origo, d.v.s. $f(-x)=-f(x)$). När man skriver ut exp(-i omega x) enligt Eulers formel, så kan man utnyttja symmetrin i integralen som definierar fouriertransformen.

$\displaystyle \int_{-\infty}^\infty f\left(x\right)\,e^{-i\omega x}\,dx = \int_{-a}^a (f\left(x\right)\,\cos\left(\omega x\right)-i\,\sin\left(\omega x\right))\,dx$

$\displaystyle = \int_{-a}^a \underbrace{f\left(x\right)\,\cos\left(\omega x\right)}_{\text{udda, så integralen=0}}\,dx - i\,\int_{-a}^a \underbrace{f\left(x\right)\,\sin\left(\omega x\right)}_{\text{jämn}}\,dx = -2i\,\int_0^a 1\cdot \sin\left(\omega x\right) \,dx = \ldots$

När du beräknat denna integral och därmed tagit fram fouriertransformen till $f$, så får du nog skriva ut integralen i inversa fouriertransformen och utnyttja symmetrin på liknande sätt.

För tydlighetens skull får du kanske döpa om integrationsvariabeln i

till $\omega$, d.v.s. skriv $\displaystyle \int_0^\infty \frac{\cos(a\omega)-1}{\omega}\,\sin\left(b\omega\right)\,d\omega$. Notera också att uttrycket $\dfrac{\cos(a\omega)-1}{\omega}$ är en udda funktion.

LuMa07 skrev:

Den givna funktionen $f$ är udda (d.v.s. symmetrisk i origo, d.v.s. $f(-x)=-f(x)$). När man skriver ut exp(-i omega x) enligt Eulers formel, så kan man utnyttja symmetrin i integralen som definierar fouriertransformen.

$\displaystyle \int_{-\infty}^\infty f\left(x\right)\,e^{-i\omega x}\,dx = \int_{-a}^a (f\left(x\right)\,\cos\left(\omega x\right)-i\,\sin\left(\omega x\right))\,dx$

$\displaystyle = \int_{-a}^a \underbrace{f\left(x\right)\,\cos\left(\omega x\right)}_{\text{udda, så integralen=0}}\,dx - i\,\int_{-a}^a \underbrace{f\left(x\right)\,\sin\left(\omega x\right)}_{\text{jämn}}\,dx = -2i\,\int_0^a 1\cdot \sin\left(\omega x\right) \,dx = \ldots$

När du beräknat denna integral och därmed tagit fram fouriertransformen till $f$, så får du nog skriva ut integralen i inversa fouriertransformen och utnyttja symmetrin på liknande sätt.

 

För tydlighetens skull får du kanske döpa om integrationsvariabeln i

till $\omega$, d.v.s. skriv $\displaystyle \int_0^\infty \frac{\cos(a\omega)-1}{\omega}\,\sin\left(b\omega\right)\,d\omega$. Notera också att uttrycket $\dfrac{\cos(a\omega)-1}{\omega}$ är en udda funktion.

Var ska jag börja?

Beräkna Fouriertransformen till $f$ och utnyttja symmetrin i integralen

LuMa07 skrev:

Beräkna Fouriertransformen till $f$ och utnyttja symmetrin i integralen

Vad menar du med symmetri? Ska jag beräkna fouriertransformen till f mha definitionen?

Beräkna fouriertransformen enligt definitionen och använd det faktum att f(x) är udda.

Därmed är f(x) cos(ωx) också udda, medan f(x) sin(ωx) är jämn.

LuMa07 skrev:

Beräkna fouriertransformen enligt definitionen och använd det faktum att f(x) är udda.

Därmed är f(x) cos(ωx) också udda, medan f(x) sin(ωx) är jämn.

Hur vet jag att f(x) är udda eller jämn? Är detta något man får reda på när man tagit fram fouriertransformen till f?