6 svar
119 visningar
dajamanté är nöjd med hjälpen
dajamanté 5139
Postad: 4 mar 2019 10:07

Kriget mellan polymomfunktioner och potensfunktioner

... Varför heter denna post så?

Visa spoiler

Vår TA använde det och det var väldigt evokativt!

Jag vill kolla om dessa lösningarna duger. Så det heliga kriget ser ut såhär:

ln(x)<  xp < px < x! < xxväxer långsammare än

Så i 5)an är dominerande termen x fakultet (efter att vi har konverterat serien till en integral), så serien kommer att divergera.

Däremot i 6)an jag undrar om vi kan använda oss av:

n!  2n-1

och skriva: (2n)!n!3 <(2n)!(2n-1)3<2·2n-1(2n-1)3=2n23n-3 <122n

och den sista är konvergent, saken är pasta?

SeriousCephalopod 2150
Postad: 4 mar 2019 17:55

Jag är lite oklar på en av olikheten:

(2n)!(2n-1)3<2·2n-1(2n-1)3\frac{(2n)!}{(2^{n-1})^3} < \frac{2="" \cdot="">

som verkar antyda

(2n)!<2·2n-1(2n)! < 2="" \cdot="" 2^{n="" -="">

vilken inte stämmer eller läser jag det fel?

SeriousCephalopod 2150
Postad: 4 mar 2019 18:13 Redigerad: 4 mar 2019 18:14

Rent generellt när man håller på med fakulteter brukar jag finna det hjälptsamt att skriva ut produktrepresentationer av fakultetern och sedan arbeta med de uttrycken.

Exempelvis kan man börja med

(2n!)(n!)3=2n2·1(n2·1)3=(n+n)(n+2)(n+1)n222·12\cfrac{(2n!)}{(n!)^3} = \cfrac{2n \cdots 2 \cdot 1}{(n \cdots 2 \cdot 1)^3} = \cfrac{(n + n) \cdots (n + 2)(n + 1)}{n^2 \cdots 2^2 \cdot 1^2}

och sedan kan man se om det finns några manipulationer man kunde göra för att se om man kan hitta en övre begränsning. 

Albiki 5096
Postad: 4 mar 2019 18:31

Hej!

De icke-triviala olikheterna är

    lnx<xp<px\ln x < x^p=""><>

medan det är självklart att px<x!p^x <> om pxp \leq x --- om p>xp>x så är det inte nödvändigtvis sant --- och det är lika självklart att x!<xxx! <> eftersom x!x! är en produkt av heltal som alla är mindre än x+1x+1.

Smutstvätt 17460 – Moderator
Postad: 4 mar 2019 19:01

SeriousCephalopod och Albiki har gett bra förklaringar, men jag skulle vilja slå ett slag för kvottestet i detta fall:

limnan+1an=limn(2(n+1))!((n+1)!)3(2n)!(n!)3=limn(2(n+1))!·(n!)3((n+1)!)3·(2n)!=

limn(2n+2)(2n+1)(n+1)3=0

Gränsvärdet är mindre än ett, och därmed konvergerar serien. :)

dajamanté 5139
Postad: 4 mar 2019 20:23

Det blev en blodig krig igen!

Tack!

 

Andra sätt att lösa förutom kvotregel?

SeriousCephalopod 2150
Postad: 4 mar 2019 23:45

Jag får för övrigt inte min fakultetsomskrivning att fungera så den var nog en återvändsgränd.

Svara Avbryt
Close