Kroppsutvidgning

Hej!
Har kollat runt online efter detta en del och har inte hittat något som förklarar teorin på ett sätt jag förstår, oklart om det är okej att lägga upp här då det inte finns en specifik uppgift jag behöver hjälp med, men tänkte testa ändå!

Så:
För ett givet irreducibelt minimalpolynom, q(x), kan vi hitta en motsvarande matris J, som har q(x) som sitt karaktäristiska polynom. (så här långt hänger jag med!)

Vi kan då konstruera en kropp:
$K=\{p(J):p(x)\in \mathbb{R} [x]\}=\{aI+bJ:a,b\in \mathbb{R}\}$

Och här hänger jag inte längre med. Det känns inte alls intuitivt (för mig) att detta skulle leda till konstruktionen av en kropp. Jag har kollat genom bevisen och hänger med på att det ÄR så att K är en kropp, men... Varför $aI+bJ$ ? Hur har person x kommit fram till att något element $k\in K$ uppfyller $aI+bJ$ för något a,b? Varför just dem här ekvationerna?

Exempel (där skon klämmer):
Om vi har minimalpolynom $q_1(x)=x^2+1=0$ så kommer:
$K=\{p(J):p(x)\in \mathbb{R} [x]\}=\{aI+bJ:a,b\in \mathbb{R}\}$

Men om vi hade haft polynom $q_2(x)=x^2+x+1$ får vi fortfarande att:
$K=\{p(J):p(x)\in \mathbb{R} [x]\}=\{aI+bJ:a,b\in \mathbb{R}\}$

Vilket jag, av någon orsak, tycker känns konstigt. Hur kommer det sig att endast J varierar när $q_1(x)$ och $q_2(x)$ inte har något gemensamt, förutom att de båda är minimalpolynom? Finns det några fall då vi t.ex. hade kunnat ha att $K=\{p(J):p(x)\in \mathbb{R} [x]\}=\{aI+bJ+cJ^2:a,b\in \mathbb{R}\}$ ?

I några artiklar och videor jag har hittat online påstås det att detta har något med en viss ring att göra, medan andra påstår att det är relaterat till att K konstrueras som en kvotgrupp av någon ring och en annan kropp, men vad som är sant har jag ännu inte lyckats reda ut.

Hade även varit tacksam för externa källor som kan förklara detta på ett konkret sett - jag nöjer mig med all vägledning jag kan få i detta. :)

Tack!

Givet en ring $R$ så bildar mängden $M_n(R)$ av alla $n\times n$ -matriser med element från $R$ en ring under vanlig matrisaddition och matrismultiplikation. Om vi även betraktar skalärmultiplikation som en operation så bildar mängden något som brukar kallas för en $R$ -algebra, eller bara en algebra.

Om du har en matris $X$ så kan du kombinera den på olika sätt med multiplikation och addition (och skalärmultiplikation). Till exempel kan du bilda matrisen $aX^2+X+bI$ , för några $a,b\in R$ . Eller varför inte matrisen $X^5 + X^4$ .

Vi kan se dessa kombinationer som polynom i "variabeln" $X$ med koefficienter i $R$ . Mängden av alla matriser vi kan bilda på detta sätt med $X$ kan vi därför beskriva som

$K(X):=\{p(X): p\in R[x]\}$ .

Om vi kombinerar element från denna mängd med addition, multiplikation eller skalärmultiplikation kommer vi få något som fortfarande ligger i samma mängd. Detta blir tydligt om vi tänker på elementen som polynom i $X$ . Adderar vi eller multiplicerar två polynom i en variabel får vi ett nytt sådant polynom. Det faktum att $K(X)$ är sluten under dessa operationer ingår i formuleringen att $K(X)$ är en delalgebra av $M_n(R)$ (eller delring om vi struntar i skalärmultiplikationen). Speciellt är mängden då en algebra (ring) i sig, under samma operationer som i $M_n(R)$ , med $K(X)\subset M_n(R)$ .

Närmare bestämt är $K(X)$ delalgebran (delringen om vi bara betraktar addition och multiplikation) genererad av elementet $X$ . Vi har "genererat" den genom att ta alla möjliga kombinationer av $X$ med våra tillgängliga operationer. Faktum är att $K(X)$ är den minsta delalgebran/delringen till $M_n(R)$ som innehåller elementet $X$ . Man kan se $K(X)$ som den minsta möjliga delmängden av $M_n(R)$ innehållandes $X$ och som gör att våra operationer är slutna.

Detta är en vanlig konstruktion för en rad olika algebraiska strukturer som grupper, ringar, vektorrum och annat.

På samma sätt är

$K(J)=\{p(J):p\in R[x]\}$

delalgebran till $M_n(R)$ genererad av elementet $J$ .

So far so good?

Låt nu $J$ ha minimalt polynom $q(x)$ . Per definition betyder detta att

$q(J)=0$ .

Om $q(x) = x^2+ax+b$ så får vi att

$q(J)=0\iff J^2 + aJ +bI= 0$ , vilket ger

$J^2= -aJ -bI$ .

Med andra ord kan alla förekomster av $J^2$ ersättas med lägre potenser av $J$ . Det betyder då att

$\{p(J):p\in R[x]\} = \{ aI + bJ + cJ^2 + \dots : a,b,c,\dots \in R\}$

är samma som

$\{aI+bJ: a,b\in R\}$ .

För vi kan ta alla potenser av $J$ med exponent $\geq 2$ och skriva om dem till potenser med grad 0 eller 1 enligt ovan.

Denna situation får vi därför att det minimala polynomet till $J$ har just grad 2. Då blir delalgebran genererad av $J$ en så kallad 2-dimensionell delalgebra.

Vi kan alltså tänka på denna algebra (ring) som delalgebran (delringen) genererad av matrisen $J$ i det speciella fallet då det minimala polynomet till $J$ har grad 2. I det generella fallet med $\deg q(x)=n$ hade vi istället fått att delalgebran genererad av $J$ hade varit

$\{a_0I+a_1J+a_2J^2+\dots + a_{n-1} J^{n-1}: a_i\in R\}$ .

Svara