Kroppsutvidgning

Givet en ring $R$ så bildar mängden $M_n(R)$ av alla $n\times n$-matriser med element från $R$ en ring under vanlig matrisaddition och matrismultiplikation. Om vi även betraktar skalärmultiplikation som en operation så bildar mängden något som brukar kallas för en $R$-algebra, eller bara en algebra.

Om du har en matris $X$ så kan du kombinera den på olika sätt med multiplikation och addition (och skalärmultiplikation). Till exempel kan du bilda matrisen $aX^2+X+bI$, för några $a,b\in R$. Eller varför inte matrisen $X^5 + X^4$.

Vi kan se dessa kombinationer som polynom i "variabeln" $X$ med koefficienter i $R$. Mängden av alla matriser vi kan bilda på detta sätt med $X$ kan vi därför beskriva som

$K(X):=\{p(X): p\in R[x]\}$.

Om vi kombinerar element från denna mängd med addition, multiplikation eller skalärmultiplikation kommer vi få något som fortfarande ligger i samma mängd. Detta blir tydligt om vi tänker på elementen som polynom i $X$. Adderar vi eller multiplicerar två polynom i en variabel får vi ett nytt sådant polynom. Det faktum att $K(X)$ är sluten under dessa operationer ingår i formuleringen att $K(X)$ är en delalgebra av $M_n(R)$ (eller delring om vi struntar i skalärmultiplikationen). Speciellt är mängden då en algebra (ring) i sig, under samma operationer som i $M_n(R)$, med $K(X)\subset M_n(R)$.

Närmare bestämt är $K(X)$ delalgebran (delringen om vi bara betraktar addition och multiplikation) genererad av elementet $X$. Vi har "genererat" den genom att ta alla möjliga kombinationer av $X$ med våra tillgängliga operationer. Faktum är att $K(X)$ är den minsta delalgebran/delringen till $M_n(R)$ som innehåller elementet $X$. Man kan se $K(X)$ som den minsta möjliga delmängden av $M_n(R)$ innehållandes $X$ och som gör att våra operationer är slutna.

Detta är en vanlig konstruktion för en rad olika algebraiska strukturer som grupper, ringar, vektorrum och annat.

På samma sätt är

$K(J)=\{p(J):p\in R[x]\}$

delalgebran till $M_n(R)$ genererad av elementet $J$.

So far so good?

Låt nu $J$ ha minimalt polynom $q(x)$. Per definition betyder detta att 

$q(J)=0$.

Om $q(x) = x^2+ax+b$ så får vi att

$q(J)=0\iff J^2 + aJ +bI= 0$, vilket ger

$J^2= -aJ -bI$.

Med andra ord kan alla förekomster av $J^2$ ersättas med lägre potenser av $J$. Det betyder då att

$\{p(J):p\in R[x]\} = \{ aI + bJ + cJ^2 + \dots : a,b,c,\dots \in R\}$

är samma som

$\{aI+bJ: a,b\in R\}$. 

För vi kan ta alla potenser av $J$ med exponent $\geq 2$ och skriva om dem till potenser med grad 0 eller 1 enligt ovan.

Denna situation får vi därför att det minimala polynomet till $J$ har just grad 2. Då blir delalgebran genererad av $J$ en så kallad 2-dimensionell delalgebra.

Vi kan alltså tänka på denna algebra (ring) som delalgebran (delringen) genererad av matrisen $J$ i det speciella fallet då det minimala polynomet till $J$ har grad 2. I det generella fallet med $\deg q(x)=n$ hade vi istället fått att delalgebran genererad av $J$ hade varit 

$\{a_0I+a_1J+a_2J^2+\dots + a_{n-1} J^{n-1}: a_i\in R\}$.

Tillägg: 20 mar 2026 21:04

Det finns ett annat perspektiv som du verkar ha varit inne på.

Om vi betraktar funktionen 

$\varphi_X: R[x]\to M_n(R)$ given av $p(x)\mapsto p(X)$, så är det inte svårt att se att detta är en ringhomomorfi. Detta är alltså den funktion som "evaluerar" ett polynom vid en matris $X\in M_n(R)$. Vi får en sådan funktion för varje val av matris $X$.

Låt oss välja något $J$ med minimalt polynom $q(x)$.

Kärnan av $\varphi_J$ är de polynom $p(x)$ för vilka $p(J)=0$. Vi vet att $q(J)=0$ och att $q$ är det polynom med lägst grad som detta gäller för. Det är inte svårt att inse att kärnan därför utgörs av $(q(x))$, dvs. idealet i $R[x]$ genererat av $q(x)$. Enligt det första isomorfiteoremet för ringar är därför

$R[x]/(q(x)) \cong K(J)$.

Med andra ord kan konstruktionen $K(J)$ ovan även ses som kvotringen $R[x]/(q(x))$. 

Kan inte redigera mitt inlägg längre, men vill bara lägga till att vi behöver välja $R=F$ till en kropp ovan när vi talar om minimala polynom och dylikt.

Du undrade också över fallen $q_1(x)=x_2+1$ och $q_2(x)=x_2+x+1$. Låt $J_1$ och $J_2$ vara matriser med minimala polynom $q_1$ respektive $q_2$. Om $R=\mathbb{R}$ så är både

$\mathbb{R}(x)/(x^2 +1) \cong \mathbb{C}$ och

$\mathbb{R}(x)/(x^2 + x + 1) \cong \mathbb{C}$.

(Faktum är att kvotringen $\mathbb{R}/(p(x))$ är isomorf med $\mathbb{C}$ för alla irreducibla polynom $p(x)$ av grad 2.)

Från föregående kommentar innebär detta då att $K(J_1)\cong K(J_2)$, dvs. dessa två delalgebror är isomorfa. Vidare är de båda isomorfa med de komplexa talen $\mathbb{C}$. En anmärkning här är att medan algebran $M_n(F)$ generellt inte är kommutativ eftersom matrismultiplikation inte är kommutativ, så kommuterar alla element på formen $aI + bJ$ med varandra. Det gäller generellt att delalgebror som är genererade av ett enda element alltid är kommutativa, även om huvudalgebran inte är det.

Att $K(J_1)\cong \mathbb{C}$ kan vi se direkt genom $i\leftrightarrow J_1$, eftersom vi vet att $J_1^2 + I = 0$. För $J_2$ är det inte lika omedelbart, eftersom vi har att $J_2^2 + J_2 + I = 0$.

Om man vill kan man konstruera en isomorfi mellan $K(J_1)$ och $K(J_2)$ explicit genom att låta $i$ vara en rot till $x^2 + 1 = 0$ och $\omega$ en rot till $x^2 + x + 1 = 0$ och uttrycka $i$ i termer av $\omega$ (genom att lösa andragradsekvationen $x^2 + x + 1 = 0$). Då får man att $i = \frac{2\omega + 1}{\sqrt{3}}$, vilket ger oss isomorfin

$J_1 \mapsto \frac{1}{\sqrt{3}}I + \frac{2}{\sqrt{3}}J_2$.

I just detta fall är alltså $K(J_1)$ och $K(J_2)$ strukturellt sett identiska med de komplexa talen sett som kroppar (algebror). Men generellt sett behöver så inte vara fallet. Om $J$ har ett minimalt polynom av grad 3 så kommer den resulterande subalgebran $K(J)$ inte längre vara en kropp. Exempelvis om $q(x) = (x-1)(x^2 + 1)$ kommer vi få en delalgebra $K(J)$ isomorf med $\mathbb{R}\times \mathbb{C}$, som inte är en kropp. Explicit är $K(J) = \{ aI + bJ + cJ^2 : a,b,c\in \mathbb{R}\}$.

För en generell kropp $F$ kan det också vara så att $K(J_1)$ och $K(J_2)$ inte är isomorfa även om de motsvarande minimala polynomen är irreducibla och av samma grad. Exempelvis om $F=\mathbb{Q}$ och $q_1(x) = x^2 - 2$ och $q_2(x) = x^2 - 3$ så är $K(J_1)\cong \mathbb{Q}(\sqrt{2})$ och $K(J_2)\cong \mathbb{Q}(\sqrt{3})$, men $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ och $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ är inte isomorfa.