Kth och chalmers matematik och fysikprov 2016

Det finns lite olika tekniker men något som generellt är instruktivt när man har kvoter i matematiska problem är att direkt blir av med divisionerna genom att utföra passande multiplikationer. Med detta så menar jag att

a/b < c/d

är ekvivalent med

ad < bc

eftersom alla talen är positiva så man behöver inte oroa sig för eventuella minustecken.

Låt oss göra samma sak med dina andra olikheter

För (a) tar vi fram de ekvivalenta uttrycken

(a + b)/(c + d) < c/d

(a + b)d < c(c + d)

ad + bd < c^2 + cd

Okej, Inget uppenbart där. Låt oss testa med en annan:

För (c) tar vi ekvivalenserna

(a + c)/(b + d) < c/d

(a + c)d < (b + d)c

ad + cd < cb + cd

Ah! i detta fall kan vi subtrahera bort cd från båda led och få kvar

ad < cb

vilket är den ursprungliga olikheten! Därmed gäller (c)

Detta är inte en hundraprocent generell metod men idén att omvandla problem med kvoter till problem med produkter är generell. Minns hur du skulle löst ekvationen:

$\frac{x + 1}{2x - 2} = \frac{2}{x - 5}$

Genom att först multiplicera runt saker så att du fick en andragradsekvation.

SeriousCephalopod skrev :

ad < cb

vilket är den ursprungliga olikheten! Därmed gäller (c)

Mm, men du visade just att b gäller även om du kallar det alternativ c så vi enas om att alternativ (b) är rätt svar :)

Felrefererat ja.

Hej!

Texten påstår att var och en av de tre olikheterna gäller för alla positiva heltal som uppfyller olikheten $ad<bc.$ Eftersom påståendet gäller alla sådana heltal kan du testa detta genom att godtyckligt välja fyra positiva heltal som uppfyller kravet och kolla vilka av de tre olikheterna som är sanna.

Till exempel kan du välja $a = 2$, $b=3$, $c=4$ och $d = 5.$ 

Eftersom $(a+b)/(c+d) = 5/9$ (cirka 0.55) och $c/d = 0.80$ så gäller Olikhet nr. 1.

Eftersom $(a+c)/(b+d) = 6/8 = 0.75$ och $c/d = 0.80$ så gäller Olikhet nr. 2.

Eftersom $(a+d)/(b+c) = 7/7 = 1$ så gäller inte Olikhet nr. 3.

Albiki

Hej igen!

Heltalen jag valde uppfyller inte kravet $ad<bc$.

Välj istället $a = 1$, $b=2$, $c=3$ och $d=4$.  

Olikhet 1 påstår att 3/7 (cirka 0.4) är mindre än 0.75, vilket stämmer.

Olikhet 2 påstår att 4/6 (cirka 0.67) är mindre än 0.75, vilket stämmer.

Olikhet 3 påstår att 5/5 är mindre än 0.75, vilket inte stämmer.

Albiki

Hej igen!

Du vet nu att Olikhet 1 skulle kunna vara sann och att Olikhet 2 skulle kunna vara sann, men att Olikhet 3 tydligen inte är sann. 

Välj nya positiva heltal a, b, c och d som uppfyller kravet $ad<bc$ och testa olikheterna 1 och 2 ännu en gång; förhoppningsvis kommer en av dem att ge ett felaktigt resultat och du har lokaliserat den olikhet som skulle kunna vara sann.

För att övertyga dig om att olikheten är sann för alla positiva heltal som uppfyller ad<bc (och inte bara för de tal som du valt) så behöver du visa den aktuella olikheten med hjälp av Algebra. 

Albiki