Kurva

Du har lutningen för tangenten, vad representerar den grafiskt?

K visar hur brant tangenten lutar mot kurvan?

tangerar den kurvan vid x=1?

Biorr skrev:

K visar hur brant tangenten lutar mot kurvan?

Ja precis! Så vad vet du då om y-koordinaterna för både tangenten och kurvan?

Jag brukar tycka det är lättare att räkna ut ekvationen för tangenten först, vilken typ av ekvation har tangenten?

Både kurvan och tangenten har exakt samma y-värde när x = 1?

Ja , och vi vet bara lutningen för tangenten än så länge, hur ser tangenten ut/vilken sorts ekvation är det?

K=delta y/delta x

Och man ska ta de närliggande punkterna?

Biorr skrev:

K=delta y/delta x

Ja sorry jag var lite tvetydlig, jag menar hela ekvationen för tangenten i punkten där x=1?

Kan man tillämpa räta linjens ekvation?

y=kx+m 

då tangenten är en rä

Biorr skrev:

Kan man tillämpa räta linjens ekvation?

Ja, det som gör denna lite förvirrande är att lutningens graf är en andragradare men i just en punkt kommer det vara en rät linje, så hur tar vi reda på ekvationen?

edit: utifrån kx+m=y, vilka värden har vi?

x=1 och k=3

Eftersom grafen g(x)=x³

Har en tangent där x=1, och att både kurvan och tangenten har exakt samma y-värde när x = 1.

så Är tangentens ekvation samma som grafens dvs g(x)=x³ ?

därav kan man g(1)=1³ för att få y, y=1?

Biorr skrev:

x=1 och k=3

Nej, det stämmer inte. Tangentens lutning k är lika med derivatans värde vid tangeringspunkten.

Vet du hur man deriverar g(x) = x³?

Eftersom grafen g(x)=x³

Har en tangent där x=1, och att både kurvan och tangenten har exakt samma y-värde när x = 1.

så Är tangentens ekvation samma som grafens dvs g(x)=x³ ?

Nej en tangent är en rät linje, så tangentens ekvation är på formen y = kx+m.

Du kan bestämma tangentens lutning k genom att beräkna derivatans värde vid tangeringspunkten, dvs k = g'(1).

Du kan sedan bestämma tangentens m-vörde genom att du vet att tngeringspunkten (1, g(1)) ligger på den räta linjen, dvs punkten (1, 1³) ligger på den räta linjen, dvs punkten (1, 1) ligger på den räta linjen.

därav kan man g(1)=1³ för att få y, y=1?

Ja, det stämmer.

Tillägg: 23 jun 2026 17:38

Jag skrev fel överst i detta svar. Det stämmer att x = 1 och k = 3.

På c)

Eftersom tangenten nuddar kurvan i punkten x=1, så delar de samma koordinater (x, y).

därav kan man ta och räkna ut m i y=kx+m

och på d?

Biorr skrev:

 

På c)

Eftersom tangenten nuddar kurvan i punkten x=1, så delar de samma koordinater (x, y).

därav kan man ta och räkna ut m i y=kx+m

Ja, nu ser a, b och c bra ut.

och på d?

På d kan du börja med att leta reda på den andra punkten på grafen till y = g(x) där tangenten har lutningen 3.

så man vet att k=3 samma lutning på den andra grafen 

Och man vet att k=3x² också.

därav k=k  => 3x²= 3

man löser ut x så får man x1=1 och x2=-1

så vid dessa två x-punkter är  lutningen k=3.

test: 3•(-1)²=3 

så nu vet man det andra x-värdet.

så för att få y så vet man att y=g(x). Dvs y är funktionsvärdet.

så g(-1)= (-1)³ =-1

så då har man koordinaterna till den andra tangenten. (-1,-1)

så då löser man ut m i y=kx+m

m=-1+3=2

så y=3x+2

Yngve har varit utloggad ett tag.

Det är rätt.

Egentligen behöver man inte räkna något på d. Att g(-x) = -g(x) för alla x betyder att grafen i tredje kvadranten är grafen i första kvadranten vriden 180 grader (åt endera hållet). Det gäller även en tangent dragen i första kvadranten som behåller sitt k-värde.

Om den ena tangenten har ekvationen y = 3x - 2 måste den andra tangenten vara y = 3x + 2. Se figuren.

Detta som något att begrunda för förståelse av uppgiften.
Men det går nog snabbare att räkna som du gjorde än att motivera ovanstående.

Ett tips är att göra dina redovisningar lite mindre "pratiga". Kanske en smakfråga och jag förstår att du vill visa hur du tänker, men jag tycker att lösningar blir mer lättlästa med färre ord och i stället tydlig uppställning.

Förslag:

Även den andra tangenten ska ha samma lutning, k=3.

Att k=3x² för alla tangenter ger 3x² = 3;   x₁ = 1, x₂= -1

Test av x₂: 3•(-1)²=3

För den andra tangentens tangeringspunkt är
x = -1
y = g(-1) = (-1)³ = -1

Det ger tangentens ekvation
y = kx+m
-1 = 3(-1) + m
m = 3-1 = 2

y = 3x + 2