Kurva med brantast lutning nerför en yta

Jag försöker hitta kurvan som hela tiden följer vägen med brantast lutning ned för ytan

$z = 100 - {(x^{2} + 2 y^{2})}^{2}$ genom punkten (1,1)

Jag försöker då hitta en kurva vars x' och y' motsvarar $\nabla f (x, y)$ i varje punkt.

$d z = 4 x (x^{2} + 2 y^{2}) d x + 8 y (x^{2} + 2 y^{2}) d y \to \{\begin{cases} x' (t) = 4 x (x^{2} + 2 y^{2}) \\ y' (t) = 8 y (x^{2} + 2 y^{2}) \end{cases} \frac{x' (t)}{y' (t)} = \frac{x (t)}{2 y (t)} \to \frac{x' (t)}{x (t)} = \frac{y' (t)}{2 y (t)} \to \ln x (t) = \frac{\ln y (t)}{2} + C$

Då z(1,1) = 91 --> C = 91

Jag tänkte sedan att man sätter in linjen lnx - (lny)/2 - 91 i z(x,y) med x = t och sätter z = 0, så

$c (t) = (\frac{\ln (t)}{2} + 91, \ln (t)) z (t) = 100 - {({(\frac{\ln (t)}{2} + 91)}^{2} + 2 \ln {(t)}^{2})}^{2} = 0 {(\frac{\ln (t)}{2} + 91)}^{2} + 2 (\ln {(t))}^{2} = \pm 10$

som leder till negativ rot. Vad går fel? :s

C ska inte vara 91. I ekvationen

finns inget $z$ -värde. Funktionen $x(t)$ representerar $x$ -koordinaten av en punkt på kurvan och $y(t)$ representerar punktens $y$ -koordinat. Talet $C$ är en lämpligt vald konstant så att kurvan man fått fram går igenom den angivna punkten.

I uppgiften söker man kurvan som går igenom punkten $x=1$ och $y=1$ . Det är dessa som ska sättas in: $\ln 1 = \frac{\ln 1}{2} + C$ , så $C=0$ .

Om du parametriserar $x(t)=t$ , så kommer $\ln x\left(t\right) = \frac{\ln y(t)}{2} + C$ förenklas till $y(t)=t^2$ .

Den sökta kurvan är alltså $(t, t^2)$ i $xy$ -planet. Vill man beskriva kurvan med alla tre koordinater på ytan, så är $\left(x, y, z\right) = \left(t, t^2, 100-\left(t^2 + 2t^4\right)^2\right)$ .

(Vad var syftet med att sätta $z=0$ ? Man söker väl inte punkten där kurvan hamnar på $z$ -nivån noll, eller?)

Svara