Kurvintegral

En idé skulle kunna vara att börja parametrisera linjestycket från origo till en godtycklig punkt på kurvan och sen försöka beräkna linjeintegralen. Om du löser ut y i din ekvation för kurvan så ser du att en godtycklig punkt på kurvan kommer ha formen $(x_0, \sqrt{\frac{3-x_0^4}{2}})$ eller $(x_0, -\sqrt{\frac{3-x_0^4}{2}})$, där $x_0$ är punktens x-koordinat. Parametriseringen för det första fallet blir $x(t) = x_0t$, $y(t) = \sqrt{\frac{3-x_0^4}{2}} t$, $0 \leq t \leq 1$. Parametriseringen för det andra fallet blir $x(t) = x_0t$, $y(t) = -\sqrt{\frac{3-x_0^4}{2}} t$, $0 \leq t \leq 1$.  I båda fallen kan du beräkna linjeintegralens värde i termer av $x_0$ och sedan kan du se vilket val av $x_0$ som minimerar linjeintegralens värde.

Ett alternativ är att notera att det finns en potential $\phi$.

$\phi \left(x,y\right)=xy$ $\Rightarrow$ $\nabla \phi (x, y) = y{\overrightarrow{e}}_x + x{\overrightarrow{e}}_y$.

Så problemet kan omformuleras till att minimera $\phi (x, y)$ = xy, givet att x och y uppfyller bivillkoret att $x^4+2y^2=3$.