Kurvintegral

Hej Majskornet, här händer det något konstigt:

$z^2dz=(4\sin^2(t))^2\cdot (8\sin(t)\cos(t)) dt$ vilket är en symmetrisk term, vilket betyder att bidraget från den delen av integralen är 0. kvar blir integralen över -4.

Hej! Tack för svaret! Vad innebär det att det är en symmetrisk term? Vilken del av termen avgör om det blir noll?

Man kan betrakta det på lite olika vis. T.ex. kan du se termen $\sin(t)\cos(t)$ som att sinusfunktionen är positiv i de två första kvadranterna samtidigt som den är negativ två andra kvadranterna. Cosinusfunktionen har positivt tecken i kvadrant 1 och 4. Teckenstudien kan sammanfattas så här:

Tecknen för sinus och cosinus multipliceras såklart. Sammanlagt har vi två lika stora positiva bidrag (++ och --) och två lika stora negativa bidrag (+- och -+). Lägger vi ihop det alltså 0.

Det finns många andra sätt att arbeta med och tänka kring symmetrier. Ett lite mer "ordnat" sätt är att studera huruvida integranden är symmetrisk eller antisymmetrisk kring en symmetriaxel.

Tack! Så sin(t)cos(t) ger alltid noll bidrag? Och därför ger alla termer som multipliceras med det också noll bidrag?

Nja, du måste också ta hänsyn till området eller intervallet. Vi kan därför inte säga "alltid".  Men i det här fallet, när vi snurrar hela varvet runt från $0$ till $2\pi$, fungerar det eftersom den andra termen, $(\sin^2)^2$, är exakt lika stor (har spegelparsvärden) i alla kvadranter. Och det finns två positiva och två negativa kvadranter.

Det kan hända att det är lättare för dig att lära dig symmetrier över bestämda intervall för enskilda trigonometriska funktioner. Har ni pratat något om symmetriargument i integrationer?

Hmm vi har pratat om att om en term, till exempel t, är udda i x och symmetrisk kring x=0, så ger det noll bidrag. Men när det blir mer komplicerade uttryck blir jag osäker :/