Kurvintegral eller greens formel?

Man ska väl se Greens formel som en möjlighet om kurvintegralen blir för arbetsam/omöjlig, de ska inte ge olika svar ifall man räknar rätt.

Jag ska titta på din lösning, kanske ser jag var skon klämmer. Men hoppas inte för mycket, mycket har runnit under broarna.

Marilyn skrev:

Man ska väl se Greens formel som en möjlighet om kurvintegralen blir för arbetsam/omöjlig, de ska inte ge olika svar ifall man räknar rätt.

Jag ska titta på din lösning, kanske ser jag var skon klämmer. Men hoppas inte för mycket, mycket har runnit under broarna.

Jaha okej. Hm jag räknade med kurvintegral som om vi hade en kurva att utgå ifrån fastän vi har två kurvor att ha att göra med. Sen vet jag inte om min parametrisering ser rimlig ut med x=t och y= sqrt(t) eller y=t^2. Problemet är väl att y varierar vilket trasslar till med parametriseringen.

Ja gör så! 

Så här blev det för mig. Kan finnas både räknefel och värre, jag vet inte vilket svar facit har.

Hela grejen med Green är ju smart. Vi byter en integral längs kanten av ett område mot en annan integral över hela områdets inre. ”Om vi vet hur mycket som passerar gränsen så vet vi hur mycket som finns innanför gränsen”. Typ, fast inte riktigt.

Marilyn skrev:

Så här blev det för mig. Kan finnas både räknefel och värre, jag vet inte vilket svar facit har.

 

Yes ditt svar är rätt enligt facit. Hm så man skulle ha räknat ut y1 och sen y2 för att lägga ihop så att man får  det till en sluten kurva?  Jag undrar varför y2 motsvarar då t går från 1 till 0 och inte  0 till 1?  Jag vet inte varför kurvintegralen metoden känns som greens formel pga vi har y1+y2  och inte att man bara räknar ut y1 som jag ungefär gjorde i början. 

Kurvan måste ju inhägna ett område, den måste vara sluten för att green ska kunna användas. I den här uppgiften står det att kurvan är positivt orienterad, det betyder att man går moturs dvs när du går ett varv har du området på din vänstra sida (går du i motsatt riktning får du –7/10, dvs motsatt det green ger.

Ibland har man en kurva som inte är sluten. Då kan man behöva lägga till ett kurvstycke med enkel kurvintegral. Därefter kör man green men då måste du dra bort värdet av integralen som du lade till. 

Marilyn skrev:

Kurvan måste ju inhägna ett område, den måste vara sluten för att green ska kunna användas. I den här uppgiften står det att kurvan är positivt orienterad, det betyder att man går moturs dvs när du går ett varv har du området på din vänstra sida (går du i motsatt riktning får du –7/10, dvs motsatt det green ger.

Ibland har man en kurva som inte är sluten. Då kan man behöva lägga till ett kurvstycke med enkel kurvintegral. Därefter kör man green men då måste du dra bort värdet av integralen som du lade till. 

Jaha okej,så denna metod du körde med är greens och inte kurvintegral eller är det kurvintegral med greens? Jag tänker facit kallar det för greens men jag vet liksom inte vad din metod är för något (förmodlingen greens med enkelintegral?) Det finns ju såna områden som  är öppna där greens inte kan användas såvida man inte gör som du skrev la till och dra bort värdet.

Så det innebär att såsom jag räknade var inte rätt för att jag täckte inte området från y=x^2 till x=y^2? I vårt fall såg det ut som att kurvan var sluten vilket medför greens då.

Greens formel används för att lösa kurvintegraler genom att göra om en enkelintegral till en dubbelintegral.

Syftar du förresten på $\displaystyle \int\mathbf{F}d\mathbf{r}$ när du skriver "metod med kurvintegral"? För detta ihop med parametrisering kan man nog kalla grundformeln eller definitionen för en kurvintegral. 

MrPotatohead skrev:

Greens formel används för att lösa kurvintegraler genom att göra om en enkelintegral till en dubbelintegral.

Syftar du förresten på $\displaystyle \int\mathbf{F}d\mathbf{r}$ när du skriver "metod med kurvintegral"? För detta ihop med parametrisering kan man nog kalla grundformeln eller definitionen för en kurvintegral. 

Ja jag tror det. Det var ju det jag försökte göra i början och räknade bara på y1 men marilyn räknade ut y2 också dvs den delen från 1 till 0 och sen la hon ihop dessa. Området består ju av två kurvor så jag fattar varför hon gjorde så :)

Gällande det du skrev om greens formel håller jag med. Det är ju vad facit valde att göra.

Destiny skriver:

”Jaha okej,så denna metod du körde med är greens och inte kurvintegral eller är det kurvintegral med greens?”

Jag (Marilyn) körde INTE med greens.. Jag beräknade en kurvintegral Pdx+Qdy där jag trampade varje steg hela banan runt. 

Boken tyckte kanske det verkade jobbigt eller ville demonstrera Green. Då bildar man en annan  funktion Q’_x –  P’_y och tar dubbelintegralen av den funktionen över hela området innanför kurvan.

Om du har en funktion definierad på Vasaloppet så kan du inte använda Greens Formel, loppet startar i Sälen och slutar i Mora. Men springer du elljusspåret ett varv hemma så skulle du kunna använda GF på någon funktion där, det är en sluten slinga.

George Green var autodidakt. 1828 kom han på sin sats, han var då 35 år gammal. Jag känner tveksamhet om jag hade kunnat lista ut den vid hans ålder.

Marilyn skrev:

Destiny skriver:

”Jaha okej,så denna metod du körde med är greens och inte kurvintegral eller är det kurvintegral med greens?”

Jag (Marilyn) körde INTE med greens.. Jag beräknade en kurvintegral Pdx+Qdy där jag trampade varje steg hela banan runt. 

Boken tyckte kanske det verkade jobbigt eller ville demonstrera Green. Då bildar man en annan  funktion Q’_x –  P’_y och tar dubbelintegralen av den funktionen över hela området innanför kurvan.

Om du har en funktion definierad på Vasaloppet så kan du inte använda Greens Formel, loppet startar i Sälen och slutar i Mora. Men springer du elljusspåret ett varv hemma så skulle du kunna använda GF på någon funktion där, det är en sluten slinga.

George Green var autodidakt. 1828 kom han på sin sats, han var då 35 år gammal. Jag känner tveksamhet om jag hade kunnat lista ut den vid hans ålder.

Aa jag förstår.  Vad var skälet till att du använde hela banan runt vid kurvintegral? Är det bara för att området begränsas av två kurvorna ?  Jag försöke ju göra som du gjorde i början och använda kurvintegral från t=0 till t=1. Men jag fokuserade inte på en kurva i taget kanske som man ska ha gjort. 

Newton kom på följande innan han fyllde 26:

• Differential- och integralkalkyl – Han utvecklade grunderna för kalkylen, även om han inte publicerade sina resultat förrän senare (Leibniz utvecklade den oberoende vid ungefär samma tid).

• Gravitationslagen – Han började formulera sin teori om gravitation, vilket så småningom ledde till den universella gravitationslagen.

• Lagen om rörelse – Han gjorde tidiga formuleringar av sina tre rörelselagar, som senare skulle ingå i Principia Mathematica (1687).

• Ljus och optik – Han upptäckte att vitt ljus består av olika färger genom sina prismastudier och utvecklade en partikelteori om ljus.

• Binomialteoremet – Han generaliserade binomialteoremet till godtyckliga exponenter, en viktig upptäckt inom matematiken.

Jag vet inte riktigt om jag ska kunna nå samma nivå. Jag har bara 5 år på mig. 

Att jag gick hela banan runt var för att det var uppgiften.

y = x² definierar en kurva i planet

y² = x definierar en annan kurva.

Vi ser att kurvorna skär varandra i (0, 0) och (1, 1).

”…det begränsade område i första kvadranten som begränsas av dessa kurvor”. det blir ett elljusspår. Och det ska springas moturs (positiv orientering) ett varv. Du kan börja var du vill om du slutar på samma ställe och området ska du ha till vänster om dig i färdriktningen.

MrPotatohead skrev:

Newton kom på följande innan han fyllde 26:

• Differential- och integralkalkyl – Han utvecklade grunderna för kalkylen, även om han inte publicerade sina resultat förrän senare (Leibniz utvecklade den oberoende vid ungefär samma tid).

• Gravitationslagen – Han började formulera sin teori om gravitation, vilket så småningom ledde till den universella gravitationslagen.

• Lagen om rörelse – Han gjorde tidiga formuleringar av sina tre rörelselagar, som senare skulle ingå i Principia Mathematica (1687).

• Ljus och optik – Han upptäckte att vitt ljus består av olika färger genom sina prismastudier och utvecklade en partikelteori om ljus.

• Binomialteoremet – Han generaliserade binomialteoremet till godtyckliga exponenter, en viktig upptäckt inom matematiken.

Jag vet inte riktigt om jag ska kunna nå samma nivå. Jag har bara 5 år på mig. 

Det var ju lätta grejor. Allt lätt är redan upptäckt.

Marilyn skrev:

Att jag gick hela banan runt var för att det var uppgiften.

y = x² definierar en kurva i planet

y² = x definierar en annan kurva.

Vi ser att kurvorna skär varandra i (0, 0) och (1, 1).

”…det begränsade område i första kvadranten som begränsas av dessa kurvor”. det blir ett elljusspår. Och det ska springas moturs (positiv orientering) ett varv. Du kan börja var du vill om du slutar på samma ställe och området ska du ha till vänster om dig i färdriktningen.

Yes då förstår jag! 👍