Kurvintegral längs halv ellips

Uppgiften lyder:

"Beräkna kurvintegralen

$\int_{γ} y (1 + 32 x) d x + 18 y^{2} d y$

där $γ$ är kurvan längs ellipsen $16 x^{2} + 9 y^{2} = 25$ genomlöpt moturs från punkten $(\frac{5}{4}, 0)$ till punkten $(- \frac{5}{4}, 0)$ "

Jag får fel svar och vet inte varför. Mitt svar är $- π$ men det rätta svaret är $- \frac{25}{24} π$

Min metod är att använda Greens formel, där jag då sluter halvelipsen som $γ$ bildar med en till kurva $γ_{1}$ som går tillbaka längs x-axeln. Jag drar sedan bort $\int_{γ_{1}}$ . Använder jag fel metod för denna typen av beräkning? Vilken ska jag i så fall använda istället?

Mina egna misstankar om vart det går snett är antingen parametriseringen av ellipsen som jag är väldigt osäker på, eller beräkningen av $\int_{γ_{1}}$ då den blir 0 vilket spontant känns fel. Dock kan jag inte komma på en annan lösning.

Nedan följer mina beräkningar (2 sidor)

$- \iint (1 + 32 x) d x d y = (s y m m e t r i) = - \iint d x d y$ =-(halva arean av ellipsskivan)= $- πab / 2 = - \frac{π}{2} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{5}{3} = - π \frac{25}{24}$ .

Tillägg: 6 mar 2024 00:53

Du har fel jacobideterminant.

$\frac{\partial (x, y)}{\partial (r, θ)} = r \frac{25}{12}$ .

Integralen blir

$- \int_{0}^{π} \int_{0}^{1} (1 + 32 r \cos θ) r \frac{25}{12} d r d θ = - \frac{25}{12} (\int_{0}^{π} d θ \cdot \int_{0}^{1} r d r + 32 \int_{0}^{1} r^{2} d r \cdot \int_{0}^{π} \cos θ d θ) = - π \frac{25}{24}$ .

Svara