3 svar
151 visningar
kirematte behöver inte mer hjälp
kirematte 13 – Fd. Medlem
Postad: 22 feb 2018 19:47

Kurvintegral med jobbig kurva, greens formel?

JonisL 30 – Fd. Medlem
Postad: 22 feb 2018 21:44

Vad jag förstår så har du ingen vektorvärd funktion i detta problem och därmed tror kan du inte använda Greens-formel. Vad är det du satt som F(x,y) = (P, Q)  ?

Dr. G 9467
Postad: 22 feb 2018 21:57

Det går bra med Greens formel, men då måste man stänga till kurvan med gamma2 enligt bilden. Integralen längs gamma2 är dock enkel.

Ytintegralen man får verkar vid en första anblick dock rätt knepig, men jag har nog missat något.

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 23 feb 2018 02:49

Hej!

Eftersom kurvan D=γγ2 \partial D = \gamma \cup \gamma_{2} är en positivt orienterad, styckvis glatt och enkelt sluten kurva, och funktionerna P P och Q Q är definierade på en öppen mängd (hela planet R2 \mathbf{R}^2 ) som innehåller området ( D D ) som begränsas av kurvan D \partial D , och funktionerna har kontinuerliga partiella derivator på detta område, kan du enligt Greens teorem skriva

    γPdx+Qdy+γ2Pdx+Qdy=DQx-Pydxdy , \oint_{\gamma} P\text{d}x + Q\text{d}y +\oint_{\gamma_{2}} P\text{d}x + Q\text{d}y =\iint_{D}\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\text{d}x\text{d}y\ ,

där P(x,y)=3x3+xy+x P(x,y) = 3x^3+xy+x och Q(x,y)=y . Q(x,y) = y\ .

Kurvan γ2 \gamma_{2} är lika med mängden

    γ2={(x,y):x=0 och -2y2} \gamma_{2}=\{(x,y):x = 0 \text{ och } -2\leq y \leq 2\}

vilket betyder att kurvintegralen längs denna kurva är

    γ2Pdx+Qdy=-22Q(0,y)dy=-22ydy=0. \oint_{\gamma_{2}} P\text{d}x + Q\text{d}y = \int_{-2}^{2}Q(0,y)\text{d}y = \int_{-2}^{2}y\text{d}y = 0.

Eftersom de partiella derivatorna är sådana att

    Qx-Py=0-x \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 0-x

så kan den sökta kurvintegralen skrivas

    γPdx+Qdy=-Dxdxdy . \oint_{\gamma} P\text{d}x + Q\text{d}y = -\iint_{D}x\text{d}x\text{d}y\ .

För att beräkna dubbelintegralen kan du prova att införa variabelbytet

    ξ=x \xi = x och η=y+3x2 \eta = y+3x^2 där x>0 x > 0

Området D D transformeras då till en halv cirkelskiva

    D'={(ξ,η):ξ2+η24 och ξ>0} D' = \{(\xi,\eta) : \xi^2 + \eta^2 \leq 4 \text{ och } \xi > 0\}

och differentialareaelementet dxdy \text{d}x\text{d}y transformeras till dξdη , \text{d}\xi\text{d}\eta\ ,   vilket resulterar i dubbelintegralen

    -Dxdxdy=-D'ξdξdη . -\iint_{D}x\text{d}x\text{d}y = -\iint_{D'}\xi \text{d}\xi\text{d}\eta\ .

Inför planpolära koordinater

    ξ=rcosθ \xi = r\cos \theta och η=rsinθ \eta = r\sin \theta

som transformerar området D' D' till en rektangel

    R={(r,θ):r[0,2] och θ[-π2,π2]} R = \{(r,\theta) : r\in[0,2] \text{ och } \theta \in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\}

så att dubbelintegralen kan skrivas som två itererade enkelintegraler.

    -D'ξdξdη=-Rr2cosθdrdθ=-{r=02r2dr}{θ=-π2π2cosθdθ}=-163 . -\iint_{D'}\xi \text{d}\xi\text{d}\eta = -\iint_{R}r^2\cos\theta \text{d}r\text{d}\theta = -\{\int_{r=0}^{2}r^2\text{d}r\}\{\int_{\theta=-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos \theta \text{d}\theta\} = -\frac{16}{3}\ .

Den sökta kurvintegralen är tydligen lika med

    γPdx+Qdy=-163 . \oint_{\gamma} P\text{d}x + Q\text{d}y = -\frac{16}{3}\ .

Albiki

Svara
Close