Kurvintegral med stokes sats

Standardfråga 1a: Har du ritat?

Vad är definitionen för rot(F)?

Smaragdalena skrev:

Standardfråga 1a: Har du ritat?

Vad är definitionen för rot(F)?

Hej!

I cartesiska koordinater $(x,y,z)$ har vektorfältet $F(x,y,z)=(F_1(x,y,z),F_2(x,y,z),F_3(x,y,z))=(y,-x,z^2)$ rotationen

    $\nabla \times F = \left|\begin{matrix}\hat{x}&\hat{y}&\hat{z}\\\partial_{x}&\partial_{y}&\partial_{z}\\F_1&F_2&F_3\end{matrix}\right|=\hat{x}(\partial_{y}F_3-\partial_{z}F_2)+\hat{y}(\partial_{z}F_1-\partial_{x}F_3)+\hat{z}(\partial_{x}F_2-\partial_{y}F_1)=\hat{x}(0-0)+\hat{y}(0-0)+\hat{z}(-1-1)=(0,0,-2).$

Albiki skrev:

Hej!

I cartesiska koordinater $(x,y,z)$ har vektorfältet $F(x,y,z)=(F_1(x,y,z),F_2(x,y,z),F_3(x,y,z))=(y,-x,z^2)$ rotationen

    $\nabla \times F = \left|\begin{matrix}\hat{x}&\hat{y}&\hat{z}\\\partial_{x}&\partial_{y}&\partial_{z}\\F_1&F_2&F_3\end{matrix}\right|=\hat{x}(\partial_{y}F_3-\partial_{z}F_2)+\hat{y}(\partial_{z}F_1-\partial_{x}F_3)+\hat{z}(\partial_{x}F_2-\partial_{y}F_1)=\hat{x}(0-0)+\hat{y}(0-0)+\hat{z}(-1-1)=(0,0,-2).$

Tack, kanske dum fråga men vilka punkter har ∂ och F?

nyfiken888 skrev:

Tack, kanske dum fråga men vilka punkter har ∂ och F?

 Jag förstår inte vad du skriver. Vad menar du med "punkter" för $\partial$ och "punkter" för $F$?

Albiki skrev:

nyfiken888 skrev:

Tack, kanske dum fråga men vilka punkter har ∂ och F?

 Jag förstår inte vad du skriver. Vad menar du med "punkter" för $\partial$ och "punkter" för $F$?

undrar vilka värde/variabler ∂ och F har?

$\mathbf{F}_1$, $\mathbf{F}_2$ och $\mathbf{F}_3$ är ju x-, y- och z-komponenterna till kraftfältet $\mathbf{F}=(y,-x,z^2)$.

$\partial_x$, $\partial_y$ och $\partial_z$ är differentialoperatorn med avseende på x, y och z. Det är ett lite konstigt skrivsätt, men exempelvis $\partial_x\mathbf{F}_2$ betyder derivatan av $\mathbf{F}_2$ med avseende på $x$. Ett annat skrivsätt för $\partial_x$, $\partial_y$ och $\partial_z$ är $\frac{\partial}{\partial x}$, $\frac{\partial}{\partial y}$ och $\frac{\partial}{\partial z}$.

AlvinB skrev:

$\mathbf{F}_1$, $\mathbf{F}_2$ och $\mathbf{F}_3$ är ju x-, y- och z-komponenterna till kraftfältet $\mathbf{F}=(y,-x,z^2)$.

$\partial_x$, $\partial_y$ och $\partial_z$ är differentialoperatorn med avseende på x, y och z. Det är ett lite konstigt skrivsätt, men exempelvis $\partial_x\mathbf{F}_2$ betyder derivatan av $\mathbf{F}_2$ med avseende på $x$. Ett annat skrivsätt för $\partial_x$, $\partial_y$ och $\partial_z$ är $\frac{\partial}{\partial x}$, $\frac{\partial}{\partial y}$ och $\frac{\partial}{\partial z}$.

oh tack! vad har man gjort här:
 

Om man bryter ut $-2$ får man:

$\displaystyle I=-2\iint_{s^2+t^2\leq4}1\ dsdt$

En integral av $1$ över ett område är ju bara lika med arean av området, och eftersom området är en cirkel med radie två kan man bara använda den gamla vanliga formeln $\pi r^2$. Alltså blir det:

$\displaystyle I=-2\iint_{s^2+t^2\leq4}1\ dsdt=-2\cdot \pi \cdot 2^2=-8\pi$

AlvinB skrev:

Om man bryter ut $-2$ får man:

$\displaystyle I=-2\iint_{s^2+t^2\leq4}1\ dsdt$

En integral av $1$ över ett område är ju bara lika med arean av området, och eftersom området är en cirkel med radie två kan man bara använda den gamla vanliga formeln $\pi r^2$. Alltså blir det:

$\displaystyle I=-2\iint_{s^2+t^2\leq4}1\ dsdt=-2\cdot \pi \cdot 2^2=-8\pi$

 här har vi rot(F) x N, vi vet att rot(F)=(0,0,-2) och N=(0,-2t,1)

och (0,0,-2) x (0,-2t,1) = 4t?

Nja, det blir ju:

$(0,0,-2)\cdot (0,-2t,1)=-2$

därav integranden $-2$.

Jag tycker de skriver lite konstigt i facit. Mellan $\text{rot}(\mathbf{F})$ och normalen (alltså $\mathbf{r'}_s \times \mathbf{r'}_t$) är det ju faktiskt en skalärprodukt, vilket man brukar beteckna med $\cdot$ istället för $\times$ ($\times$ betyder ju oftast kryssprodukt). Alltså skulle jag föredra att skriva:

$\displaystyle \iint_{Y}$ $\text{rot}(\mathbf{F}) \cdot \mathbf{N}\ dS$

istället för:

$\displaystyle \iint_{Y}$ $\text{rot}(\mathbf{F}) \times \mathbf{N}\ dS$

Albiki skrev:

Hej!

I cartesiska koordinater $(x,y,z)$ har vektorfältet $F(x,y,z)=(F_1(x,y,z),F_2(x,y,z),F_3(x,y,z))=(y,-x,z^2)$ rotationen

    $\nabla \times F = \left|\begin{matrix}\hat{x}&\hat{y}&\hat{z}\\\partial_{x}&\partial_{y}&\partial_{z}\\F_1&F_2&F_3\end{matrix}\right|=\hat{x}(\partial_{y}F_3-\partial_{z}F_2)+\hat{y}(\partial_{z}F_1-\partial_{x}F_3)+\hat{z}(\partial_{x}F_2-\partial_{y}F_1)=\hat{x}(0-0)+\hat{y}(0-0)+\hat{z}(-1-1)=(0,0,-2).$

 Försöker tillämpa lösningen på denna uppgift, men förstår inte varför det inte går:

Här får jag (y,x,0)*(-t,-s,1) Enligt lösningen ovan.

Uppgiften du tar upp handlar om en flödesintegral (alltså en ytintegral).

Stokes sats gäller enbart kurvintegraler, och alltså kan man inte använda den i det här fallet.