Kurvintegral / potentialfält? #2

Hej!

Du vill hitta en potentialfunktion $\phi$, och du har mycket riktigt integrerat $P$ map $x$ och får 

$\phi=z\log{\left(x^2+y^2\right)}+C\left(y,z\right)$ för någon funktion $C$. 

Om du nu deriverar denna potential $\phi$ map $y$ får du 

$\phi_{y}=\frac{2yz}{x^2+y^2}+C_{y}\left(y,z\right)$. Nu gäller att denna funktion måste vara lika med $Q$, dvs $Q=\frac{2yz}{x^2+y^2}$. Alltså har du att $C_{y}\left(y,z\right)=0$.

Derivera nu $\phi=z\log{\left(x^2+y^2\right)}+C\left(y,z\right)$ map $z$ och jämför med $R=\ln{\left(x^2+y^2\right)}+1$.

Moffen skrev:

Hej!

Du vill hitta en potentialfunktion $\phi$, och du har mycket riktigt integrerat $P$ map $x$ och får 

$\phi=z\log{\left(x^2+y^2\right)}+C\left(y,z\right)$ för någon funktion $C$. 

Om du nu deriverar denna potential $\phi$ map $y$ får du 

$\phi_{y}=\frac{2yz}{x^2+y^2}+C_{y}\left(y,z\right)$. Nu gäller att denna funktion måste vara lika med $Q$, dvs $Q=\frac{2yz}{x^2+y^2}$. Alltså har du att $C_{y}\left(y,z\right)=0$.

Derivera nu $\phi=z\log{\left(x^2+y^2\right)}+C\left(y,z\right)$ map $z$ och jämför med $R=\ln{\left(x^2+y^2\right)}+1$.

Är det här "receptet" :)  (sedan såklart substituera in punkterna)

sannakarlsson1337 skrev:

Moffen skrev:

Hej!

Du vill hitta en potentialfunktion $\phi$, och du har mycket riktigt integrerat $P$ map $x$ och får 

$\phi=z\log{\left(x^2+y^2\right)}+C\left(y,z\right)$ för någon funktion $C$. 

Om du nu deriverar denna potential $\phi$ map $y$ får du 

$\phi_{y}=\frac{2yz}{x^2+y^2}+C_{y}\left(y,z\right)$. Nu gäller att denna funktion måste vara lika med $Q$, dvs $Q=\frac{2yz}{x^2+y^2}$. Alltså har du att $C_{y}\left(y,z\right)=0$.

Derivera nu $\phi=z\log{\left(x^2+y^2\right)}+C\left(y,z\right)$ map $z$ och jämför med $R=\ln{\left(x^2+y^2\right)}+1$.

Är det här "receptet" :)  (sedan såklart substituera in punkterna)

Beror på vad du menar med "recepetet" ;)

Men ja, om funktionen har en potential så ska du hitta en potential $\phi$ sådan att $\nabla\phi=\vec{F}\left(x,y,z\right)=\left(P,Q,R\right)$. Det vill säga, $\phi_{x}=P$ osv. 

Du har beräknat $\int\phi dx=...$, och då har du en "kandidat" för din potential, men vi vill ju förstås veta hela funktionen $\phi$!

Det är just det du gör sen, i det här fallet bestämmer du $C\left(y,z\right)$ genom att derivera $\phi$ map $y$ och $z$ och jämför med $Q$ och $R$.

Bara för att fortsätta ett steg till om det klargör saken lite bättre än mina usla förklaringar:

Vi vet att $C_{y}\left(y,z\right)=0$, alltså beror inte $C\left(y,z\right)$ av $y$. 

Genom att derivera map $z$ får vi då istället $\log{\left(x^2+y^2\right)}+C_{z}\left(y,z\right)$. Detta jämför vi med $R$ och ser att $C_{z}\left(y,z\right)=1$, dvs. $C\left(y,z\right)=z+k$, för en konstant $k$. Men det spelar såklart ingen roll sen vid beräkning av integralen med $+k$ eftersom de kommer ta ut varandra.

Självklart får du en (godtycklig) funktion av $x$ och $y$ när du integrerar map $z$ också, men om du som sagt jämför $\phi_{x}=P$, $\phi_{y}=Q$ och $\phi_{z}=R$ så får du restriktioner på dessa "extra funktioner".

Vi kommer alltså fram till att funktionen $\phi=z\log{\left(x^2+y^2\right)}+z$ uppfyller våra krav och är då en potential till vektorfältet $\vec{F}$.

Moffen skrev:

sannakarlsson1337 skrev:

Visa föregående citat

Moffen skrev:

Hej!

Du vill hitta en potentialfunktion $\phi$, och du har mycket riktigt integrerat $P$ map $x$ och får 

$\phi=z\log{\left(x^2+y^2\right)}+C\left(y,z\right)$ för någon funktion $C$. 

Om du nu deriverar denna potential $\phi$ map $y$ får du 

$\phi_{y}=\frac{2yz}{x^2+y^2}+C_{y}\left(y,z\right)$. Nu gäller att denna funktion måste vara lika med $Q$, dvs $Q=\frac{2yz}{x^2+y^2}$. Alltså har du att $C_{y}\left(y,z\right)=0$.

Derivera nu $\phi=z\log{\left(x^2+y^2\right)}+C\left(y,z\right)$ map $z$ och jämför med $R=\ln{\left(x^2+y^2\right)}+1$.

Är det här "receptet" :)  (sedan såklart substituera in punkterna)

Beror på vad du menar med "recepetet" ;)

Men ja, om funktionen har en potential så ska du hitta en potential $\phi$ sådan att $\nabla\phi=\vec{F}\left(x,y,z\right)=\left(P,Q,R\right)$. Det vill säga, $\phi_{x}=P$ osv. 

Du har beräknat $\int\phi dx=...$, och då har du en "kandidat" för din potential, men vi vill ju förstås veta hela funktionen $\phi$!

Det är just det du gör sen, i det här fallet bestämmer du $C\left(y,z\right)$ genom att derivera $\phi$ map $y$ och $z$ och jämför med $Q$ och $R$.

Bara för att fortsätta ett steg till om det klargör saken lite bättre än mina usla förklaringar:

Vi vet att $C_{y}\left(y,z\right)=0$, alltså beror inte $C\left(y,z\right)$ av $y$. 

Genom att derivera map $z$ får vi då istället $\log{\left(x^2+y^2\right)}+C_{z}\left(y,z\right)$. Detta jämför vi med $R$ och ser att $C_{z}\left(y,z\right)=1$, dvs. $C\left(y,z\right)=z+k$, för en konstant $k$. Men det spelar såklart ingen roll sen vid beräkning av integralen med $+k$ eftersom de kommer ta ut varandra.

Självklart får du en (godtycklig) funktion av $x$ och $y$ när du integrerar map $z$ också, men om du som sagt jämför $\phi_{x}=P$, $\phi_{y}=Q$ och $\phi_{z}=R$ så får du restriktioner på dessa "extra funktioner".

Vi kommer alltså fram till att funktionen $\phi=z\log{\left(x^2+y^2\right)}+z$ uppfyller våra krav och är då en potential till vektorfältet $\vec{F}$.

okej, ska räkna så ska vi se om jag fattat ^^

Det ska såklart även stå $\int Pdx=...$ på tredje raden, inte $\int \phi dx$.