Kurvlängd

Hej!

Funktionen $f(x) = 2\sin 3x$ där $0<><2\pi>$ har derivatan $f'(x) = 6\cos 3x$ där $0<><2\pi>$. Formeln för kurvlängd ger integralen

    $\displaystyle\int_{0}^{2\pi/3}\sqrt{1+36\cos^2 3x}\,dx.$

Integranden saknar primitiv funktion som kan uttryckas med elementära funktioner; integralen $\int\sqrt{1+36\cos^2 3x}\,dx$ är ett exempel på en elliptisk integral av andra ordningen.

Albiki skrev:

Integranden saknar primitiv funktion som kan uttryckas med elementära funktioner; integralen $\int\sqrt{1+36\cos^2 3x}\,dx$ är ett exempel på en elliptisk integral av andra ordningen.

 Innebär det att elliptiska integraler inte kan integreras? Jag hänger inte riktigt med, vad menas det med elementära funktioner?

le chat skrev:

Albiki skrev:

Integranden saknar primitiv funktion som kan uttryckas med elementära funktioner; integralen $\int\sqrt{1+36\cos^2 3x}\,dx$ är ett exempel på en elliptisk integral av andra ordningen.

 Innebär det att elliptiska integraler inte kan integreras? Jag hänger inte riktigt med, vad menas det med elementära funktioner?

 Att det är svårt att beräkna värdena för den primitiva funktionen eftersom den inte består av "gamla vanliga" funktionstyper (polynom, exponentialfunktioner, trigfunktioner o.s.v.).

I Matte 4 brukar detta betyda att man skall beräkna integralen numeriskt (antingen med räknare eller med en summaapproximation).

Det är dock lite ovanligt med sådana integraler. Kan du lägga upp en bild på uppgiften så att vi kan försäkra oss om att inget blivit fel? 

AlvinB skrev:

Det är dock lite ovanligt med sådana integraler. Kan du lägga upp en bild på uppgiften så att vi kan försäkra oss om att inget blivit fel? 

 Här är bilden på frågan.

Det var konstigt att det behövdes numerisk lösning utan att det framgick i uppgiften.

Dock, se nedan hur du kan beräkna uppgiften på en grafräknare: https://m.youtube.com/watch?feature=youtu.be&v=49UtQtj1ORA

Hej!

Ett sätt att approximera kurvans längd är att dela in integrationsintervallet i ett stort antal ($n$) korta intervall och över varje intervall approximeras integranden med en linjär funktion, så att integralen approximeras av ett stort antal smala parallelltrapets.

    $\displaystyle\sum_{i=0}^{n}\int_{x_{i}}^{x_{i+1}}m_{i}+k_{i}x\,dx ,$

där linjernas intercept $m_{i}$ och lutningar $k_{i}$ ser olika ut beroende på över vilket kort delintervall man approximerar.