Kurvlängder polära koordinater

Tjena,

försöker lösa uppgiften:

"En kurva ges i polära koordinater av

$r = x^{2}, - π \leq x \leq π$ .

Beräkna kurvas längd."

Jag förstår som så att jag sätter

$\int_{- π}^{π} \sqrt{x^{4} + 4 x^{2}} d x$

löser ut denna integral men integralen blir för mig:

$\frac{{(x^{2} + 4)}^{3 / 2}}{3}$ +C

och då jag sätter inte värdena -pi och pi kommer svaret att bli 0 vilket är fel. Svaret ska bli

$\frac{2}{3} ({(4 + π^{2})}^{3 / 2} - 8)$

gör jag något fel med min integral eller vad händer?

$\int_{- π}^{π} \sqrt{x^{4} + 4 x^{2}} d x$ = $\int_{- π}^{π} |x| \sqrt{x^{2} + 4} d x$ = 2 $\int_{0}^{π} x \sqrt{x^{2} + 4} d x$ .

Tack så mycket nu fungerar det, men hur gick det där sista steget till egentligen?

Man kan ju dela upp

$\int_{- π}^{π} |x| \sqrt{x^{2} + 4} d x = \int_{- π}^{0} |x| \sqrt{x^{4} + 4 x^{2}} d x + \int_{0}^{π} |x| \sqrt{x^{4} + 4 x^{2}} d x$

men hur gör man det så man skriver

$2 \int_{0}^{π} x \sqrt{x^{2} + 4} d x$

Integranden är en jämn funktion f(x) = f(-x). Då gäller $\int_{- a}^{a} f (x) d x = 2 \int_{0}^{a} f (x) d x$ .

Aha grymt!

Jepp, grymt sa Bull.

Svara

Visa senaste svar