Kurvor. Beräkna arean av bladet.

Kan den här tråden vara till någon hjälp? (Tyvärr har jag förträngt mycket av matten på den här nivån.)

kurvintegral med givna parametrar men utan F(x,y) (Matematik/Universitet) – Pluggakuten

Du har fått gränserna för t givna i problemet.

sictransit skrev:

Kan den här tråden vara till någon hjälp? (Tyvärr har jag förträngt mycket av matten på den här nivån.)

kurvintegral med givna parametrar men utan F(x,y) (Matematik/Universitet) – Pluggakuten

oj tack så mycket, det ska jag kolla på. 

PATENTERAMERA skrev:

Du har fått gränserna för t givna i problemet.

Har jag? Är inte det gränserna för hela kurvan, alltså blomman, och inte för ett blad?

Hej! Jag läste det andra inlägget och där beräknade man en vanlig kurvintegral med fältet F = 1/2(-y,x) från Greens formel. Fast då förstår jag inte riktigt om cos(4t)-cos(t) i parametriseringen ska ersätta y i F, eftersom de står på "samma plats" i respektive vektor, eller x i F, eftersom cos(4t)-cos(t) representerar x-koordinaten för kurvan?

Jag tolkar det som att gränserna för $t$ är för det gröna bladet, och inte hela blomman. Annars skulle kurvan inte vara enkel som uppgiften påstår.

Låt $F:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R} ^2$ vara vektorfältet definierat av

$F(x, y) = 0.5(-y, x)$.

Fältet $F$ omvandlar alltså en given vektor $(x, y)$ till en vektor $(-0.5y, 0.5x)$.

För varje värde på $t$ är $r(t)=(x(t), y(t))$ en vektor i $\mathbb{R}^2$, och

$F(r(t)) = F(x(t), y(t)) = 0.5(-y(t), x(t))$.

Om nu $x=x(t) = \cos 4t - \cos t$ och $y=y(t) = - \sin 4t - \sin t$ så...

Hej! Då förstår jag bättre. Stort tack för svar. Då ska jag alltså sätta in x(t) i x och y(t) i -y. Jag har gjort det men lyckas ändå inte få till det...kommer fram till att arean är 0. Tror du att du kan se var jag räknar fel?

edit: insåg att jag tappar -1 på vägen men det blir fortfarande inte rätt..

ok, det blev rätt om jag tog bort minustecknet. Har det något med orientering att göra? Stort tack för hjälpen.

Oj, hmm. Jag tror jag får uttrycket till $\frac{3}{2}\int \cos 5t - 1 dt$, så det verkar rimligt. Men precis som du är inne på är kurvan negativt orienterad. Därav följer det ett extra minustecken.

Tillägg: 5 mar 2025 18:58

Är man självsäker kan man konstatera att kurvan är negativt orienterad på grund av att vi får ett negativt värde på integralen. Är man osäker på uträkningen är det bäst att studera parametriseringen och försöka lista ut orienteringen.

Jag förstår, tack!