Kurvor (cirkel, ellips samt parabel)

BroderEmil skrev :

Hej,

 

Jag ska lösa följande uppgift:
"Beskriv geometriskt de komplexa tal z som uppfyller ekvationen $|z+1|=5$."

 

Tacksam för tips och hjälp,

BroderEmil

z är ett komplext tal. Då är z + 1 ett annat komplext tal. |z + 1| är absolutbeloppet av detta komplexa tal.

Detta absolutbelopp ska vara lika med 5.

---------

Om du sätter z = x + yi så blir z + 1 = (x + 1) + yi.

Då blir |z + 1|^2 = (x + 1)^2 + y^2.

Kalla nu |z + 1|^2 för r^2.

Då har du sambandet (x + 1)^2 + y^2 = r^2.

Känner du igen det någonstans ifrån?

Hur kan svaret vara att det är en cirkel med radie $5$ och medelpunkten $-1$?

Hur får du fram $(x+1)+yi$ när du sätter $z=x+yi$? Bör det inte bli $x+yi+1=5$?

Jag ser att i din formel "$(x+1{)}^2+y^2=r^2$" där $r=5$ att detta är formeln för en crikel men hur jag kommer fram till det är problemet.

Om du har att z = x + yi så har $x + yi + 1$ realdelen $x + 1$ och imaginärdelen $y$, så alltså får du att $|x + yi + 1|^2 = (x + 1)^2 + y^2$

Därför måste det gälla att

$(x + 1)^2 + y^2 = 5^2$

Hur får du fram $|x+yi+1{|}^2=(x+1{)}^2+y^2$?

Absolutbeloppet av ett komplext tal är

$|z| = \sqrt{Re(z)^2 + Im(z)^2}$

Nu är realdelen av $x + yi + 1$ just $x + 1$ samt att imaginärdelen är $y$. Därför får man att

$|x + yi + 1| = \sqrt{(x + 1)^2 + y^2}$

Kvadrera båda leden så får du fram likheten.

Nu förstår jag! Det står samma sak i boken men svårare att tyda. Jag har en annan liknande uppgift men jag tar och ger mig på den igen innan jag lämnar ut den. Tack, återigen!

Perfekt. Notera alltså att $|z + 1| = |z - (-1)|$ kan tolkas som avståndet mellan $z$ och $-1$, så själva ekvationen kan tolkas som "alla z vars avstånd till -1 är 5". Så det blir trivialt en cirkel med origo i -1 och radien 5.

En liten detalj bara: mitten av cirkeln heter medelpunkt. Origo ligger allltid i (0,0).

EDIT: la till ett borttappat r

Tack, bra där!

Smaragdalena skrev :

En liten detalj bara: mitten av cikeln heter medelpunkt. Origo ligger allltid i (0,0).

En liten detalj bara: Den mängd punkter som ligger på samma avstånd från medelpunkten kallas cirkel. Cikel är kanske ett dialektalt ord för cykel? ;-)