9 svar
113 visningar
Blubliak 5
Postad: 19 maj 2017

Kuststräcka och hastighet

Hej

 

Jag har ett problem med en uppgift 

 

"På en liten ö som befinner sig utanför en rak kuststräcka finns en fyr vars ljuskägla roterar med hastigheten 3,0 varv/min. Det kortaste avståndet mellan fyrtornet och kusten är 2,0 km. Denna punkt på kustlinjen döps till A. Vid ett visst tillfälle befinner sig en person P vid kusten på ett avstånd som är 4,0 km ifrån A. Hur snabbt passeras personen av ljuskäglan?"

 

Det jag har tänkt är att man ska ta omkretsen av banan som ljuset har i den punkt som den träffar P, och sen dela det med tiden det tar det att åka ett varv för ljuset. Alltså 1 varv/20 sekunder. Först så förstod jag inte hur de menade att B befann sig. Alltså, vare sig P befann sig 4 km bakom, till sidan om, eller något annat från A. Jag kände först att det var mest troligt att P befann sig 4 meter till sidan om A, så jag räknade ut radien av cirkeln med pythagoras sats r=(2^2+4^2)^0.5 =20^5. Jag multiplicerade detta med 2pi för att få ut omkretsen, och delar detta med 20 sekunder för att få fram hastigheten (2*20^0.5*pi)/20=1.4 km/s men i facit står det 3,1 km/s 

 

så jag prövade med att P är 4 km bakom A. Så jag tog 2+4=6 km som då är radien. Så omkretsen är 12pi. Och delat på 20 sek blir det 1.88 km/s vilket inte heller är rätt svar, 3,1 km/s. 

 

Så nu vet jag inte hur jag ska göra, eller vad jag har gjort för fel. Är P utplacerad på något annat sätt jag inte förstod, ska man räkna ut hastigheten på något annat sätt, eller hur gör man?

 

Om det är till någon hjälp tillhör denna uppgiften ett kapitel som heter "Fördjupad integral och differentialkalkyl".

 

Tack!

HT-Borås 935
Postad: 19 maj 2017

Som det beskrivs ser det ut så här. Du kan utgå från det:

SvanteR 305
Postad: 19 maj 2017

Är du med på att funktionen för hastighet är derivatan av funktionen för läge?

Affe Jkpg 551
Postad: 19 maj 2017

Du tycks ha räknat ut hastigheten mätt vinkelrätt mot ljuskäglan.

Man ska nog räkna ut hastigheten med vilken ljuskäglan skär strandlinjen.
Strandlinjen är den blåa linjen HT-Borås ritat.

smaragdalena 3425 – Gy-lärare (Ke, Ma)
Postad: 19 maj 2017 Redigerad: 19 maj 2017

Om det är meningen att man skall räkna ut med vilken hastighet ljuskäglan skär strandlinjen, borde man ha skrivit det. Det står bara att det handlar om hur snabbt personen passeras av ljuskällan. Jag tolkade frågan ikadant som Blubliak gjorde (och därför svarade jag inte, eftersom jag fick fram samma svar). Men med tanke på att facit ger ett annat värde, så är det nog som Affe skrev. (Dessutom var Blubiaks och mitt svar alldeles för enkelt för att vara Ma5.)

Lirim.K 327
Postad: 19 maj 2017 Redigerad: 19 maj 2017

Låt punkten F vara fyren. Du får därmed en rätvinklig triangel FAP med AFP=α radianer.

Förändringen i uttryckt i radianer (dα) kan uttryckas som multiplikation av förändringen i tid (dt), antalet varv och antalet radianer i ett varv, d.v.s dα=dt·2π·3dα/dt=6π. 

Om du betecknar FP=s så gäller det att cosα=2/ss=2/cosα. Implicit derivation ger att

     s't=dsdt=dαdt4sinαcos(2α)+1=6π4sinα1-2sin2α+1=6π4sinα21-sin2α=12πsinα1-sin2α.

Du vet att sinα=4/20=2/5. Det ger att

     dsdt=12π251-252=24π5. 

Vilket låter väldigt mycket jämfört med facits svar. Är du säker på att du tittat rätt?

SvanteR 305
Postad: 19 maj 2017
Lirim.K skrev :

Låt punkten F vara fyren. Du får därmed en rätvinklig triangel FAP med AFP=α radianer.

Förändringen i uttryckt i radianer (dα) kan uttryckas som multiplikation av förändringen i tid (dt), antalet varv och antalet radianer i ett varv, d.v.s dα=dt·2π·3dα/dt=6π. 

Om du betecknar FP=s så gäller det att cosα=2/ss=2/cosα. Implicit derivation ger att

     s't=dsdt=dαdt4sinαcos(2α)+1=6π4sinα1-2sin2α+1=6π4sinα21-sin2α=12πsinα1-sin2α.

Du vet att sinα=4/20=2/5. Det ger att

     dsdt=12π251-252=24π5. 

Vilket låter väldigt mycket jämfört med facits svar. Är du säker på att du tittat rätt?

Det är sent och jag är trött, så jag kanske tänker helt fel, men Lirim.K, är du säker på att du räknar rätt här?

När du sätter FP = s så blir ju s sträckan från fyren till stranden, och hastigheten du beräknar blir väl hastigheten med vilken skärningspunkten mellan ljuskäglan och stranden avlägsnar sig från fyren, vilket är en annan hastighet än den som efterfrågas?

Jag gjorde en snabb genomräkning och om man i stället sätter AP = s, och därmed får s/2 = tan(alfa) och sedan räknar vidare som du gör så får man samma svar som i facit.

Lirim.K 327
Postad: 20 maj 2017 Redigerad: 20 maj 2017

Nej, jag var inte ett dugg säker men jag var säker på att man på något sätt behöver uttrycka vinkeln som en funktion av tiden till att börja med. 

Varför antar du att AP = s, när du får det givet att AP = 4? Missar jag ngt här? Följer man dina beteckningar så får man att

     s'=2cos2αdαdt=12πcos2α.

Eftersom s=20=25 så får man att

     s'=12π252=12π45=60π4=15π.

Vilket också är > facits svar. Kan va så att jag räknar fel nu i brist på koffein.

SvanteR 305
Postad: 20 maj 2017

Jag skrev lite snabbt. AP är givetvis konstant = 4. På samma sätt som FP är konstant = sqrt20. 

Men man kan beteckna skärningspunkten mellan kusten och ljuskällan P'

Med det sättet att skriva sätter du FP'=s och jag AP' = s

Ture 317
Postad: 20 maj 2017 Redigerad: 20 maj 2017
Lirim.K skrev :

Nej, jag var inte ett dugg säker men jag var säker på att man på något sätt behöver uttrycka vinkeln som en funktion av tiden till att börja med. 

Varför antar du att AP = s, när du får det givet att AP = 4? Missar jag ngt här? Följer man dina beteckningar så får man att

     s'=2cos2αdαdt=12πcos2α.

Eftersom s=20=25 så får man att

     s'=12π252=12π45=60π4=15π.

Vilket också är > facits svar. Kan va så att jag räknar fel nu i brist på koffein.

Här finns några aritmetiska fel.

Vinkelhastigheten är pi/10.  (3 varv på en minut => 3*2pi/60)

cos(alfa) = 2/(2*sqrt(5)) = 1/sqrt(5) vars kvadrat blir 1/5.

Således:

s' = 2×π10×15 = π 

Svara Avbryt
Close