Kvadratkomplettera

Ditt $z$ är rätt!

Nu är målet att skriva om rotuttrycket så att vi får rötterna på formen $z = x+yi$. 

Eftersom de ber i uppgiften att vi ska "kvadratkomplettera under rotuttrycket" då är det troligt att $3+4i$ faktiskt är en kvadrat av något trevligt!

Iden är såhär:

Ansätt: $(a+bi)^2 = 3+4i$, för två reella tal $a$ och $b$.

Efter att $a$ och $b$ har hittats får vi, genom att "ta roten ur" den första ekvationen att

$\sqrt{3+4i} = a+bi$.

Om du utvidgar parentesen $(a+bi)^2$, kan du komma på ett sätt att lösa ut för $a$ och $b$?

A + 2bi - b 

Nej, jag kan inte det.

A + 2bi - b = 3+4i

A - b = 3

2bi = 4i

B = a -3

i(2a -6i) = 4i

2ai +6 = 4i oj.. nej

Uh nej jag har ingen aning 

Tänk på att $(a+bi)^2 = a^2 + 2abi + (bi)^2 = a^2 +2abi - b^2$

Du verkade några saker i utvecklingen av parenteserna. 
Men din ide att dela upp dem på reell och imaginär del och lösa dem som ett ekvationssystem är helt korrekt! 

Oj det tänkte jag inte alls på faktiskt. Jag är lite trött. Får nog fortsätta imorgon.

Tack så länge 🙂

Nej jag kan det inte

Har på något sätt hamnat i a^4 = 3a^2 + 4.

Vet inte hur man löser det 

Det stämmer!

Testa att substituera $t = a^2$

Lite kludd. Vet inte vad jag gör alls utan gör bara någonting.

Dkcre skrev:

Litet algebraiskt fel!
$\displaystyle \left(\frac 32\right)^2 = \frac 94$.

Det borde förenklas ned till att $t=4$ och $t=-1$ 

Efter att få fram ett värde på $a$ kan vi också få fram $b$.

Okej..

A = 2

4 -b^2 = 3

-B^2 = -1

B^2 = 1

B =  1

Eller

-1 + b^2 = 3

B^2 = 4

B = 2

Nej inget av det går,

Oj det blir b = 1 inte i

..

Vilket verka fungera 

..

Men nu finns det ju flera olika rötter också. Underbart.

2 + i verkar vara en rot 

Då blir det kanske att 2-i är den andra.

****

Fast 2+i är fel ser jag.. 

Nej, jag vill inte mer. Det bara snurrar i huvudet på mig.

Tack för hjälpen i alla fall.

Dkcre skrev:

Nej, jag vill inte mer. Det bara snurrar i huvudet på mig.

Tack för hjälpen i alla fall.

Jag kan visa en lösning senare ikväll. Det är lätt när man väl har sett ett exempel.

Vi har lösningen Z=-2+i$\pm$$\sqrt{3+4i}$ och vill skriva 3+4i som ${\left(a+ib\right)}^2$ för att kunna dra roten ut det .

Så  ${(a+ib)}^2 = a^2-b^2 +2iab =3+4i$som ger a=2 och b=1.

Så Z= -2+i $\pm$ (2+i) och

z₁=2i och z₂=-4

Kolla genom (z-2i)(z+4)= z² +(4-2i)z-8i

hansa skrev:

Vi har lösningen Z=-2+i$\pm$$\sqrt{3+4i}$ och vill skriva 3+4i som ${\left(a+ib\right)}^2$ för att kunna dra roten ut det .

Så  ${(a+ib)}^2 = a^2-b^2 +2iab =3+4i$som ger a=2 och b=1.

Så Z= -2+i $\pm$ (2+i) och

z₁=2i och z₂=-4

Kolla genom (z-2i)(z+4)= z² +(4-2i)z-8i

Steget

är inte trivialt för många elever. Det är uppenbart när man väl ser det, men inte rakt av för många.

Det är som att säga: Skriv

3+4i = 2^2+2*2*i+i^2 = (±(2+i))^2

vilket inte är en helt självklar omskrivning.

Dessutom har vi att -2-i också duger (men är ointressant då den "innehålls" i ± i det "yttre uttrycket".

Trinity2 skrev:

Dkcre skrev:

Nej, jag vill inte mer. Det bara snurrar i huvudet på mig.

Tack för hjälpen i alla fall.

Jag kan visa en lösning senare ikväll. Det är lätt när man väl har sett ett exempel.

Löste det senare med given metod. Har lite svårt med koncentrationen bara. 

Fast kändes aningen långdraget i och för sig.