Kvadratkomplettering

Hej! Jag har följande uppgift här vilket jag försöker kvadratkomplettera för att få fram att den är positivt semidefinit men det blir alltid något som inte tydligt bevisar att den är det.. Skulle behöva lite hjälp hur jag optimalt kan kvadratkomplettera denna? Jag tar över allt på en sida.

Visa att xy + xz + yz ≤ x² + y² + z² för alla (x, y, z) i R3. För vilka (x, y, z) råder likhet?

Det verkar som det bästa är att ta allt till en sida så att man har $0 \leq x^{2} + y^{2} + z^{2} - x y - x z - y z$ . Genom att då göra omskrivningen $x^{2} + y^{2} + z^{2} - x y - x z - y z = (\frac{x^{2}}{2} - x y + \frac{y^{2}}{2}) + (\frac{x^{2}}{2} - x z + \frac{z^{2}}{2}) + (\frac{y^{2}}{2} - y z + \frac{z^{2}}{2})$

så kan man kvadratkomplettera det innanför respektiver paranteser. Av detta följer den givna olikheten.

Ett annat sätt med elementär algebra är följande:

Visa spoiler

Olikheten är symmetrisk i sina variabler $x,y,z$ så man kan wlog. antaga att $x$ är den största bland $x,y,z$ . I sin tur kan man skriva

$x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx = (x-z)(x-y) + (y-z)^{2},$

som är ickenegativt. Härmed följer det att likhet sker om och endast om $x=y=z$ .

https://math.stackexchange.com/questions/3607257/how-to-prove-x2-y2-z2-geq-xy-xz-yz

Svara

Visa senaste svar