Kvadratkomplettering?

Hej! När jag har gjort kvadratkomplettering har jag tidigare tänkt: 

Ex. X^2 + 5x + 4  = 0

(X + 5/2)^2 = -4 + 25/4

(X+5/2)^2 = (-16+25)/4

(X+5/2)^2 = 9/4 

√(X+5/2)^2 = √(9/4)

X+5/2 = + - 3/2

X = (-5 + - 3)/2

X1 = -4 

X2= -1

 

Nu var det dock en härledning på kvadratkomplettering som jag inte helt förstår:(. I boken har de skrivit:

1. X^2 + px + q =
2. X^2 + 2*(p/2)*X + q
3. X^2 + 2*(p/2)*X + (p/2)^2 - (p/2)^2 + q =
4. (X + p/2)^2 - ((p/2)^2 - q) 

Jag förstår inte varför de har både multiplicerat och dividerat px i steg 2? 

Eller varför de tagit både + och -(p/2)^2 i steg 3?

För sedan kommer en uppgift som lyder:

"Skriv om följande uttryck som en jämn kvadrat plus, eller minus, en konstant 

3x^2 + 12x - 7

Jag tänker: 

3x^2 + 12x - 7 =

3(X^2 + 4x - 7/3) =

3((X+ 2)^2 - 7/3 + 4)) =

3(X+2)^2 - 19)/3 =

3(X+2)^2 - 19

Och det verkar som boken tänkt likadant. Svaret blir rätt men det vorre nog bra att förstå härledningen och formeln:( 

Ett annat exempel är "Skriv om följande uttryck som en jämn kvadrat plus, eller minus, en konstant 

X^2-6x"

Jag tänkte:

X^2 - 6x =

(X-3)^2 + 9

Men boken tänkte:

X^2 - 6x =

X^2 - 2*3x + 9 - 9 =

(X-3)^2 - 9

Vet inte varför:(