Kvadratrötter och absolutbelopp.

Måste x vara reellt, eller kan det vara komplext?

Laguna skrev:

Måste x vara reellt, eller kan det vara komplext?

Hm, tänkte på det också. Man har ju tagit bort komplexa tal från läroplanen sedan 2021 i Ma2c vill jag tro men hade en gammal bok från 2012 när jag gick den kursen och hann förstå konceptet lite och räkna några uppgifter. Så jag uppfattar det som att det är så jag ska tolka det och räkna därefter? Kan testa och se om jag kommer fram till en logisk slutsats.

Det ligger en hund begraven i frasen "för alla värden på $x$". Uppgiften är alltså otydligt formulerad.

Beroende på vad som exakt menas med "alla värden", så kan båda grabbarna ha rätt, eller så har Steven rätt men inte Wayne, eller så har båda fel.

LuMa07 skrev:

Det ligger en hund begraven i frasen "för alla värden på $x$". Uppgiften är alltså otydligt formulerad.

Beroende på vad som exakt menas med "alla värden", så kan båda grabbarna ha rätt, eller så har Steven rätt men inte Wayne, eller så har båda fel.

Visa spoiler

• Menar man alla komplexa tal $x$ (vilket nog ej är sannolikt), så har båda fel. Det gäller nämligen att $|x| = \sqrt{ x\,\overline{x} }$. Dessutom är $\sqrt{x}$ och $\sqrt{x^2}$ odefinierade ifall $x$ ej är reellt.

Jag förstår inte uttrycket i HL här.

• Menar man alla värden på $x$ där respektive likhet är meningsfull, så har båda rätt. Man får dock tänka på att ekvationen med $(\sqrt{x})^2$ endast är meningsfullt då $x\ge 0$.

Vad menas med "där respektive likhet är meningsfull? Ser ingen skillnad på punkt 2 och 3.

Och vad menar Sverin i videon med detta då?

Facit för övrigt. Men då var det ganska straight forward man menade i boken. Trodde det var något med det Sverin sa.

Hur definieras kvadratroten?

Standarddefinitionen kräver att talet under rottecknet är $\ge 0$.

• $\sqrt{3}$ är då meningsfullt
• $\sqrt{-3}$ är då odefinierat / meningslöst.

(Man kan utöka definitionen av kvadratrötter så att även $\sqrt{-3}$ får något rimligt värde. Vissa läroböcker gör faktiskt det. Om man dock gör det, så får man ta farväl av potenslagarna eftersom de slutar gälla. Annars skulle man kunna visa att "-1 = 1".)

Maratmatorkin skrev:

Jag förstår inte uttrycket i HL här.

Symbolen $\overline{x}$ betecknar komplexkonjugat till $x$. T.ex. om $x = 2+3i$, så är $\overline{x} = 2-3i$. Tråden ligger under Matte 3 och komplexa tal hör hemma i Matte 4, så det här är egentligen inget du (för närvarande) behöver känna till.

Maratmatorkin skrev:

Ser ingen skillnad på punkt 2 och 3.

I punkten 2 påstås att likheten $|x| = (\sqrt{x})^2$ skall gälla för alla reella tal $x$, vilket EJ är sant. (Och det är denna tolkning som står i facit.)

I punkten 3 påstås att likheten $|x| = (\sqrt{x})^2$ skall gälla för de tal $x$ där samtliga uttryck är definierade/meningsfulla. Det påstås alltså att likheten skall gälla för alla icke-negativa reella tal, vilket är sant.

LuMa07 skrev:

Hur definieras kvadratroten?

Standarddefinitionen kräver att talet under rottecknet är $\ge 0$.

• $\sqrt{3}$ är då meningsfullt
• $\sqrt{-3}$ är då odefinierat / meningslöst.

---

(Man kan utöka definitionen av kvadratrötter så att även $\sqrt{-3}$ får något rimligt värde. Vissa läroböcker gör faktiskt det. Om man dock gör det, så får man ta farväl av potenslagarna eftersom de slutar gälla. Annars skulle man kunna visa att "-1 = 1".)

Hm okay. Förstår inte varför Sverin går så långt i det här fallet. Men tror att jag, boken och samtliga är i konsensus vad gäller uppgiften.

---

Maratmatorkin skrev:

Jag förstår inte uttrycket i HL här.

Symbolen $\overline{x}$ betecknar komplexkonjugat till $x$. T.ex. om $x = 2+3i$, så är $\overline{x} = 2-3i$. Tråden ligger under Matte 3 och komplexa tal hör hemma i Matte 4, så det här är egentligen inget du (för närvarande) behöver känna till.

Aah spännande! Hade en fråga tidigare idag gällande den negerade formen av ett absolutbelopp eller vad man säger. Kan man kalla det ett absolutkonjugat då likt nedan?

---

Maratmatorkin skrev:

Ser ingen skillnad på punkt 2 och 3.

I punkten 3 påstås att likheten $|x| = (\sqrt{x})^2$ skall gälla för de tal $x$ där samtliga uttryck är definierade/meningsfulla. Det påstås alltså att likheten skall gälla för alla icke-negativa reella tal, vilket är sant.

Hm, spännade. Det visste jag inte. Fascinerad av det matematiska språket så tackar för den definitionen. :)