L Hobital rule

$$\begin{gathered} \underset{x\to \infty }{\lim }(1+\frac{\ln \left(x\right)}{x}) \\ \underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x+\ln \left(x\right)}{x}=\frac{\infty }{\infty } \\ \underset{x\to \infty }{\lim }1+\frac{1}{x}=1 enligt LHobital rule \\ min fråga är : \\ om \\ f\left(x\right)=x+\ln \left(x\right) \\ g\left(x\right)=x \\ \underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x+\ln \left(x\right)}{x}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)} \\ if f and g are two differentiable functions an g\text{'}\left(x\right)\#0 in the neghbourhood of c \\ if \underset{x\to c }{\lim } \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)} is an indeterminate frorm \frac{0}{0} eller \frac{\infty }{\infty } then \\ \underset{x\to c}{\lim } \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\underset{x\to c}{\lim } \frac{f \text{'}\left(x\right)}{g´\left(x\right)} \\ 1) I mitt exemple är f(x)=x+\ln (x) c=\infty vad är neghbourhood of c \\ 2) är det viktig att jag tänker på derivation of f i punkten punkten c \end{gathered}$$