La grange, extrempunkter

Det är nog lättare att byta till sfäriska koordinater här, med tanke på att ekvationssystemet inte har särkilt mycket symmetri att utnyttja. 

Ekvationssystemet skulle vara lite enklare att hantera om man använde sig av en alternativ formulering av satsen om extrempunkter under bivillkor (d.v.s. lagrangemultiplikatorer):

Om punkten $\mathbf{a} \in D_f$ är en extrempunkt för funktionen $f(\mathbf{x})$ under bivillkoret $g(\mathbf{x})=0$, så är mängden $\{\nabla f(\mathbf{a}), \nabla g(\mathbf{a})\}$ linjärt beroende förutsatt att båda funktionernas derivata existerar.

Linjärt beroende av 2 st 3D-vektorer testas enkelt med kryssprodukten, så man kan undersöka ekvationssystemet $\nabla f(x,y,z) \times \nabla g(x,y,z) = \mathbf{0}$ med en till ekvation med bivillkoret $g(x,y,z)=0$.

Hur som helst... ekvationssystemet som du fått går att lösa relativt smidigt genom att eliminera variabeln $\lambda$. Börja med att notera att $f(x,y,z) = 0$ ifall någon av variablerna $x$ eller $y$ eller $z$ är lika med 0. I ekvationen

ser man att om $\lambda = 0$, så är $y$ eller $z$ lika med noll och därmed $f(x,y,z) = 0$, vilket redan tagits med som eventuell kandidat för extremvärde.

I vidare undersökning antar man alltså att alla fyra variablerna är nollskilda (annars får man $f=0$). Därmed går det bra att dividera ekvationer med $x$, $y$, $z$ och $\lambda$ enligt behov utan att förlora lösningar.

Ur ekvationen löser man ut $\lambda = -\dfrac{y^2\,z^3}{2x}$. Detta kan sättas in i andra och tredje ekvationen

vilket ger

$2xyz^3 - \dfrac{y^3z^3}{x} = 0\quad \iff \quad 2 x^2 y z^3 = y^3 z^3 \quad \iff \quad 2x^2 = y^2$

respektive

$3xy^2z^2 - \dfrac{y^2 z^4}{x} = 0 \quad \iff \quad 3x^2y^2z^2 = y^2z^4 \quad \iff \quad 3x^2 = z^2$

Dessa kan sättas in i sfärens ekvation:

$x^2 + y^2 + z^2 = 1$  blir  alltså  $x^2 + 2x^2 + 3x^2 = 1$, vilket ger $x = \pm \dfrac{1}{\sqrt{6}}$

...

AlexMu skrev:

Det är nog lättare att byta till sfäriska koordinater här, med tanke på att ekvationssystemet inte har särkilt mycket symmetri att utnyttja. 

Hur blir det med sföriska koordinater? Är det då sfären jag ska parametrisera och sätta lika med 0? 

LuMa07 skrev:

Ekvationssystemet skulle vara lite enklare att hantera om man använde sig av en alternativ formulering av satsen om extrempunkter under bivillkor (d.v.s. lagrangemultiplikatorer):

Om punkten $\mathbf{a} \in D_f$ är en extrempunkt för funktionen $f(\mathbf{x})$ under bivillkoret $g(\mathbf{x})=0$, så är mängden $\{\nabla f(\mathbf{a}), \nabla g(\mathbf{a})\}$ linjärt beroende förutsatt att båda funktionernas derivata existerar.

Linjärt beroende av 2 st 3D-vektorer testas enkelt med kryssprodukten, så man kan undersöka ekvationssystemet $\nabla f(x,y,z) \times \nabla g(x,y,z) = \mathbf{0}$ med en till ekvation med bivillkoret $g(x,y,z)=0$.

Jag har inte sett denna formulering innan. Men om jag ska anvönda mig av den behöver jag då veta att punkten är en extrempunkt, eller? Hur gör man då?

---

Hur som helst... ekvationssystemet som du fått går att lösa relativt smidigt genom att eliminera variabeln $\lambda$. Börja med att notera att $f(x,y,z) = 0$ ifall någon av variablerna $x$ eller $y$ eller $z$ är lika med 0. I ekvationen

ser man att om $\lambda = 0$, så är $y$ eller $z$ lika med noll och därmed $f(x,y,z) = 0$, vilket redan tagits med som eventuell kandidat för extremvärde.

I vidare undersökning antar man alltså att alla fyra variablerna är nollskilda (annars får man $f=0$). Därmed går det bra att dividera ekvationer med $x$, $y$, $z$ och $\lambda$ enligt behov utan att förlora lösningar.

Ur ekvationen löser man ut $\lambda = -\dfrac{y^2\,z^3}{2x}$. Detta kan sättas in i andra och tredje ekvationen

vilket ger

$2xyz^3 - \dfrac{y^3z^3}{x} = 0\quad \iff \quad 2 x^2 y z^3 = y^3 z^3 \quad \iff \quad 2x^2 = y^2$

respektive

$3xy^2z^2 - \dfrac{y^2 z^4}{x} = 0 \quad \iff \quad 3x^2y^2z^2 = y^2z^4 \quad \iff \quad 3x^2 = z^2$

Dessa kan sättas in i sfärens ekvation:

$x^2 + y^2 + z^2 = 1$  blir  alltså  $x^2 + 2x^2 + 3x^2 = 1$, vilket ger $x = \pm \dfrac{1}{\sqrt{6}}$

...

Så det jag har förstått är att jag behöver kolla om mina variabler x,y och z är noll och kolla funktionsvärdet då, så blir detta en kandidat. Sedan kollar jag om lambda är noll, hur de andra variablerna blir. Kollar jag då på bara en ekvation? Eller är det att jyst i detta fallet så blir funktionsvärdet 0 om en av dem är 0? 

Sedan när jag antar att alla är nollskillda så bljr det logiskt hur jag får ut en värde. Det ör dock biten när man ska kolla när variablerna är 0 som jag inte riktigt förstår. Hur tänker man? 

Man behöver inte notera att f=0 om någon av variablerna är noll, men det underlättar väldigt mycket fortsatt lösning av ekvationssystemet eftersom man slipper jobbiga falluppdelningar.

När jag löste ut lambda, så behövde jag dividera med x. Då måste man se upp! Division med x är olagligt ifall x=0. Därmed behöver man göra en falluppdelning:

Fall 1: x=0 ger f(0,y,z)=0. Struntar därmed i att lösa ut y och z eftersom man får f=0 oavsett.

Fall 2: x≠0 gör att lambda kan lösas ut.

I andra ekvationen kom jag fram till att $2x^2yz^3 = y^3 z^3$ och här dividerade jag bort $yz^3$. Men sådant får man inte göra ifall $y=0$ eller $z=0$! Man skulle kunna använda sig av nollproduktsmetoden och få tre fall:

Fall 2a: y=0 ger f(x,0,z)=0. Struntar därmed i att lösa ut x och z eftersom man får f=0 oavsett.

Fall 2b: z=0 ger f(x,y,0)=0. Struntar därmed i att lösa ut x och y eftersom man får f=0 oavsett.

Fall 2c: 2x^2 = y^2. Fortsätter med detta vidare.

I tredje ekvationen kom jag fram till att $3x^2y^2z^2 = y^2 z^4$ och här dividerade jag bort $y^2z^2$. Men sådant får man inte göra ifall $y=0$ eller $z=0$! Man skulle kunna använda sig av nollproduktsmetoden och få tre fall:

Fall 2c.i: y=0 har redan undersökts i 2a.

Fall 2c.ii: z=0 har redan undersökts i 2b.

Fall 2c.iii: 3x^2 = z^2. Fortsätter med detta vidare.

L123 skrev:

LuMa07 skrev:

Ekvationssystemet skulle vara lite enklare att hantera om man använde sig av en alternativ formulering av satsen om extrempunkter under bivillkor (d.v.s. lagrangemultiplikatorer):

Om punkten $\mathbf{a} \in D_f$ är en extrempunkt för funktionen $f(\mathbf{x})$ under bivillkoret $g(\mathbf{x})=0$, så är mängden $\{\nabla f(\mathbf{a}), \nabla g(\mathbf{a})\}$ linjärt beroende förutsatt att båda funktionernas derivata existerar.

Linjärt beroende av 2 st 3D-vektorer testas enkelt med kryssprodukten, så man kan undersöka ekvationssystemet $\nabla f(x,y,z) \times \nabla g(x,y,z) = \mathbf{0}$ med en till ekvation med bivillkoret $g(x,y,z)=0$.

Jag har inte sett denna formulering innan. Men om jag ska anvönda mig av den behöver jag då veta att punkten är en extrempunkt, eller? Hur gör man då?

Kolla upp hur man formulerade den variant av satsen om lagrangemultiplikatorer som du känner till. Den är säkert också formulerad som en implikation "Om $\mathbf{a}$ är en extrempunkt, så är $\nabla L(\mathbf{a},\lambda) = \mathbf{0}$."

Hur använder du satsen?

Du löser $\nabla L(x,y,z,\lambda) = \mathbf{0}$ för att hitta kandidater och bland dessa verkligen ligger extremvärdena.

Formuleringen jag nämnt funkar likadant. Man löser ekvationen $\nabla f(x,y,z) \times \nabla g(x,y,z) = \mathbf{0}$ tillsammans med bivillkorets ekvation $g(x,y,z)=0$ för att hitta kandidater och bland dessa verkligen ligger extremvärdena.

Tack så mycket, det blir mycket tydligare nu hur man analyserar fallen.

L123 skrev:

AlexMu skrev:

Det är nog lättare att byta till sfäriska koordinater här, med tanke på att ekvationssystemet inte har särkilt mycket symmetri att utnyttja. 

Hur blir det med sföriska koordinater? Är det då sfären jag ska parametrisera och sätta lika med 0? 

Man inför sfäriska koordinater (har ni lärt er att använda sfäriska koordinater, kanske jag bör fråga?):

$x = r\cos \varphi\sin \theta$
$y = r\sin\varphi\sin\theta$
$z = r\cos\theta$

Där $\theta\in [0,\pi], \varphi\in [0,2\pi], r>0$

Insättning i bivillkoret blir då

$1=x^2+y^2+z^2 = \left(r\cos\varphi\sin\theta\right)^{2}+\left(r\sin\varphi\sin\theta\right)^{2}+\left(r\cos\theta\right)^{2}$
$=r^{2}\left(\sin^{2}\theta\left(\cos^{2}\varphi+\sin^{2}\varphi\right)+\cos^{2}\theta\right) =r^{2}\left(\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta\right)= r^2$

och därmed är $r=1$. Alltså, för alla $\theta,\varphi$ är bivillkoret uppfyllt, så nu kan vi optimera utan att oroa sig om bivillkor.

I funktionen får vi då att
$f(x,y,z)=(\cos \varphi\sin \theta)\cdot (\sin\varphi\sin\theta)^2 \cdot (\cos\theta)^3=\sin^{3}\theta\cos^{3}\theta\cos\varphi\sin^{2}\varphi.$ 

Härifrån beror inte $\varphi$ och $\theta$ på varandra, så vi kan maximera deras respektive komponenter för sig, dvs maximera/minimera $\sin^{3}\theta\cos^{3}\theta$ på intervallet för $\theta$ och maximera/minimera $\cos\varphi\sin^{2}\varphi$ på $\varphi$:s intervall.