laddningars rörelse i elektriska fält

Jag ser inte riktigt hur du har kommit fram till ditt uttryck för hastigheten i y-led, men jag ger några förslag på hur du kan räkna.

Du räknar ut tiden det tar för elektronen att färdas sträckan mellan A och B  och accelerationen på rätt sätt, men kom ihåg hur accelerationen är riktad också. Sen verkar det som du försöker räkna ut hastigheten i y-led när elektronen lämmar det elektriska fältet, den är lika stor som den är när den kommer i fältet fast motriktad pga symmetrin i rörelsen. Om du använder detta kan du ställa upp ett samband $v_y=-\frac{v_0}{\sqrt{2}}=\frac{v_0}{\sqrt{2}}-\frac{eU}{md}t$ där t är tiden du räknade ut innan, denna ekvation kan du lösa för $v_0$ vilket ger det du letar efter. 

Ett alternativt sätt att lösa denna uppgift är använda att rörelsen är symmetrisk på ett lite annorlunda sätt. När den tagit sig halvvägs mellan A och B så är hastigheten i y-led noll.  Då kan du ställa upp sambandet $v_y=0=\frac{v_0}{\sqrt{2}}-\frac{eU}{md}\frac{t}{2}$där t återigen är tiden som det tar att färdas mellan A och B. Du delar med två eftersom det tar hälften av denna tid att färdas halva sträckan mellan A och B.

Du kan prova att visa att båda dessa samband ger samma uttryck för hastigheten.

Jag förstår inte dina ekvationer.

$v_y\left(t\right)=v_{oy}-at$

Efter halva tiden och halva sträckan mellan A-B så att säga vänder hastigheten

$a{t}_{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}=v_{oy}$

var kommer $\sqrt{2}$ ifrån?

försökt beräkna som du föreslog men får det inte till att bli rätt ändå. När jag sätte in värdena i 

$\frac{vo}{\sqrt{2}}-\frac{eU}{md}\times \frac{0,06}{v\cos 45}$ får de till -9,949'*10^14...

Okey...vi delar upp problemet för att få kontroll på tiopotenserna

$$\begin{gathered} a=\frac{QU}{md}=\frac{2000*1.602*{10}^{-19}}{9.109*{10}^{-31}*0.03}=\frac{2*1.602*{10}^{-16}}{3*9.109*{10}^{-33}}=0.117*{10}^{17} \\ {v}_{0y}=at \\ \frac{v_0}{\sqrt{2}}=a\frac{0.03\sqrt{2}}{v_0}....Obs halva sträckan A-B! \\ {v^2}_0=2*0.03*a=0.06*0.117*{10}^{17}=6*1.17*{10}^{14} \\ {v}_0=2.65*{10}^{7}m/s \end{gathered}$$

Det kommer från $\frac{1}{\sqrt{2}}=\cos \left({45}^{\circ }\right)$.  Jag kan inte säga vart det har gått fel i algebran för dig men det slutgiltiga uttrycket för farten är $v_0=\sqrt{\frac{eU{S}_x}{md}}$