1 svar
279 visningar
Albiki 4228
Postad: 22 sep 2017

Lagranges medelvärdessats

Låt f f vara en reellvärd icke-konstant funktion som är kontinuerlig på det slutna intervallet [a,b] [a,b] och deriverbar på det öppna intervallet (a,b). (a,b). Då finns det ett tal ( c c ) någonstans i det inre av [a,b] [a,b] sådant att

   f(b)-f(a)=f'(c)(b-a). f(b)-f(a) = f^'(c)(b-a).

Albiki 4228
Postad: 22 sep 2017

Bevis av Lagranges medelvärdessats.

Funktionen g är reellvärd och icke-konstant som är kontinuerlig på det slutna intervallet [a,b] och deriverbar på det öppna intervallet (a,b).

    g(x)=f(x)-f(b)-f(a)b-a·(x-a). g(x) = f(x) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \cdot (x-a).

Dessutom är funktionen sådan att g(a)=g(b). g(a) = g(b). Enligt Rolles sats finns det då ett tal ( c c ) någonstans i det inre av [a,b] [a,b] sådant att

    g'(c)=0. g^'(c) = 0.

Derivatan är

    g'(x)=f'(x)-f(b)-f(a)b-a g^'(x) = f^'(x) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}

och situationen g'(c)=0 g^'(c) = 0 är samma sak som

    f'(c)(b-a)=f(b)-f(a), f^'(c)(b-a) = f(b) - f(a),

vilket skulle bevisas.

Svara Avbryt
Close