Längden av vektorn v

Från gymnasietrigonometrin kommer vi ihåg att sinus för en vinkel är motstående katet genom hypotenusan

$\displaystyle \sin\left(\theta\right)=\frac{d}{|\vec{AP_0}|}$

$d=|\vec{AP_0}|\, \sin\left(\theta\right)$

Vi har också lärt oss att kryssproduktens belopp kan definieras som

$|\vec{v}\times \vec{AP_0}|=|\vec{v}|\, |\vec{AP_0}|\,\sin\left(\theta\right)$

Delar vi alltså kryssproduktens absolutbelopp med $|\vec{v}|$ får vi kvar

$|\vec{AP_0}\sin\left(\theta\right)|$

Men det är ju samma sak som $d$ ovan.

D4NIEL skrev:

Från gymnasietrigonometrin kommer vi ihåg att sinus för en vinkel är motstående katet genom hypotenusan

 

$\displaystyle \sin\left(\theta\right)=\frac{d}{|\vec{AP_0}|}$

$d=|\vec{AP_0}|\, \sin\left(\theta\right)$

 

Vi har också lärt oss att kryssproduktens belopp kan definieras som

$|\vec{v}\times \vec{AP_0}|=|\vec{v}|\, |\vec{AP_0}|\,\sin\left(\theta\right)$

Delar vi alltså kryssproduktens absolutbelopp med $|\vec{v}|$ får vi kvar

$|\vec{AP_0}\sin\left(\theta\right)|$

Men det är ju samma sak som $d$ ovan.

Det är jag med på! Men formeln jag skrev innehåller inte sinus av något? Efter att vi har delat med absolutbeloppet av v har vi bara absolutbeloppet av vektorn P0A

Jo, formeln du skrev innehåller sinus eftersom det finns en kryssprodukt i den.

Vektorn $\vec{u}=\vec{AP_0} \times \vec{v}$ har längden

$\|\vec{AP_0} \times \vec{v}\|=\|\vec{AP_0}\| \,\|\vec{v}\|\, \sin\left(\theta\right)$

På ungefär samma sätt har skalärprodukten $\vec{a}\cdot \vec{b}$ ett cosinus i sig

$\|\vec{a}\cdot \vec{b}\|=\| \vec{a}\|\, \| \vec{b}\|\, \cos\left(\theta\right)$