Laplace dubbelsidig

Hej! Jag har denna uppgift: "Sök en begränsad partikulärlösning med hjälp av dubbelsidig Lapplacetransform: $y\text{'}\text{'}\left(t\right)-4y=4e^{-2(t-\pi )}H\left(t{-}^{\pi }\right)+\delta \text{'}\left(t\right)$

 

Jag kom fram till: $Y\left(s\right)=e^{-\pi s}(\frac{1}{4}\frac{1}{s-2}-\frac{1}{4}\frac{1}{s+2}-\frac{1}{{(s+2)}^2})+\frac{1}{2}\frac{1}{s-2}+\frac{1}{2}\frac{1}{s+2}, där de sista två termerna kommer ifrån dirac delta termen.$

Detta är rätt. Det som är finurligt är svaret.. I facit säger dem enbart: "Inverstranformering ger sedan".

Det jag egentligen inte är med på är två saker.

1. varför det blir (H(t-pi)-1) på vissa termer? 

2. varför ens heaviside på de sista två termerna som kommer ifrån Dirac?