Least-squares solution

Hej!

Uppgift:

Find a least-squares solution of $A\mathit{x}=\mathit{b}$ by (a) constructing the normal equations for $\hat{\mathit{x}}$ and (b) solving for $\hat{\mathit{x}}$.

$A=\left[\begin{array}{cc}1& -2\\ -1& 2\\ 0& 3\\ 2& 5\end{array}\right], \mathit{b}=\left[\begin{array}{c}3\\ 1\\ -4\\ 2\end{array}\right]$

Lösning:

Deluppgift (a) har jag inga problem med, utan endast med (b).

Bokens sätt att lösa detta på är att låta A = QR, där Q är en matris som har kolonner som är ortonormala baser för Col A och R är en matris som erhålles genom att låta $R=Q^{T}A$. Sedan får vi att $\hat{\mathbf{x}}=R^{-1}{Q}^T\mathit{b}$.

Så:

Jag får att:

$Q=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{6}}& -\frac{8}{453}\\ -\frac{1}{\sqrt{6}}& \frac{8}{453}\\ 0& \frac{5}{302}\\ \frac{2}{\sqrt{6}}& \frac{13}{906}\end{array}\right]$ och $R=\left[\begin{array}{cc}\sqrt{6}& \sqrt{6}\\ -\frac{1}{151}& \frac{71}{453}\end{array}\right]$

För att räkna ut $R^{-1}$ så vill jag radreducera $\left[\begin{array}{cc}R& I\end{array}\right]$ till $\left[\begin{array}{cc}I& R^{-1}\end{array}\right]$ för att sedan räkna ut $\hat{\mathit{x}}$.

Men när jag börjar göra detta så märker jag att talen jag sitter och räknar med för att radreducera matrisen känns löjligt jobbiga och jag börjar undra om jag inte någonstans har gjort det hela krångligare än vad det är tänkt att vara. Men jag kan inte se att de räknar på något annat sätt i boken. Skillnaden är att de har snällare tal att räkna med i uppgiften.

Någon som kan hjälpa mig?