Lebesgues integration

Har följande uppgift som jag inte helt förstår: $f (x) = \{\begin{cases} 1 o m x ä r r a t i o n e l l t \\ 0 o m x ä r i r r a t i o n e l l t \end{cases} . B e r ä k n a v ä r d e t a v \int_{0}^{1} f (x) d x .$

Jag är osäker på hur jag ska beräkna denna när det endast står att x är rationellt och irrationellt. Dem jag löst innan har det stått t.ex 1 om 0<x<1/4.

Facit säger 1*0+0*1=0.

Tacksam för hjälp!

Hej!

Integralen är lika med

$\int_{0}^{1} f dx = 1\cdot Leb(\mathbb{Q}\cap[0,1])+0\cdot Leb(\mathbb{Q}^{c}\cap[0,1]) = 0,$

eftersom de rationella talen i [0,1] är en uppräknelig union av en-punktsmängder och Lebesguemåttet är uppräkneligt-additivt och Lebesguemåttet för en en-punktsmängd är noll så är $Leb(\mathbb{Q}\cap[0,1]) = 0$ .

Albiki skrev:
Hej!
Integralen är lika med
$\int_{0}^{1} f dx = 1\cdot Leb(\mathbb{Q}\cap[0,1])+0\cdot Leb(\mathbb{Q}^{c}\cap[0,1]) = 0,$
eftersom de rationella talen i [0,1] är en uppräknelig union av en-punktsmängder och Lebesguemåttet är uppräkneligt-additivt och Lebesguemåttet för en en-punktsmängd är noll så är $Leb(\mathbb{Q}\cap[0,1]) = 0$ .

Jaha! Tack så mycket för hjälpen! :)

Albiki skrev:
Hej!
Integralen är lika med
$\int_{0}^{1} f dx = 1\cdot Leb(\mathbb{Q}\cap[0,1])+0\cdot Leb(\mathbb{Q}^{c}\cap[0,1]) = 0,$
eftersom de rationella talen i [0,1] är en uppräknelig union av en-punktsmängder och Lebesguemåttet är uppräkneligt-additivt och Lebesguemåttet för en en-punktsmängd är noll så är $Leb(\mathbb{Q}\cap[0,1]) = 0$ .

Hur vet man att bara för att de rationella talen i [0,1] är en uppräknelig union av en-punktsmängder och Lebesguemåttet är uppräkneligt-additivt och Lebesguemåttet för en en-punktsmängd är noll så är Leb(Q∩[0,1])=0?

Svara Avbryt

Visa senaste svar