Likformig kontinuitet

Om du vet att $\lim_{x\rightarrow\infty}f(x) = M$ och $\lim_{x\rightarrow -\infty} f(x) = m$.

För att ge ungefärlig idé på vad du ska tänka på.

Givet ett $\epsilon$ så kan du finna ett N sådant att då

$x > N$ så gäller det att $|f(x) - M| < \epsilon/2$ samt att

$x < -N$ så gäller det att $|f(x) - m| < \epsilon/2$.

Intervallet $[-N, N]$ är kompakt, så här kan du använda Heines-Cantor sats.

Kan du sätta ihop dessa fall så att du kan visa att den är likformigt kontinuerlig över hela $\mathbb{R}$?

$\forall \epsilon >0\exists \delta >0\forall x_1,x_2\in D_f:\left|x_1-x_2\right|<\delta =>\left|f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\right|\ge \epsilon$

I princip antar jag att funktionen inte är likformigt kontinuerlig, läger delta som 1/n och sedan använder jag Bolzano-Weierstrass sats för att visa att både X1 och X2 har gränsvärdet X0 genom att ge delföljden av X1 X1kn och av X2 X2kn

$\left|x_{2k_n}-x_0\right|=\left|x_{2k_n}-x_{1k_n}+x_{1k_n}+x_0\right|\le \left|x_{2k_n}{x}_{1k_n}\right|+\left|x_{1k_n}-x_0\right|$

Utrycket går mot 0 då n-> oändligheten

Då kan jag konstatera att $$\begin{gathered} \left|f\left(x_{1k_n}\right)-f\left(x_0\right)\right|<\raisebox{1ex}{$\epsilon $}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right. \\ \left|f\left(x_{2k_n}\right)-f\left(x_0\right)\right|<\raisebox{1ex}{$\epsilon $}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right. \end{gathered}$$

 Om jag adderar ihop dessa två får jag att f(x1kn)-f(x2kn) är mindre än epsilon vilket är en motsägelse...

Jag förstår inte riktigt hur du har resonerat, men jag är ganska säker på att det inte stämmer. Ditt antagande är inte negeringen av likformigt kontinuerlig, så att visa att ditt antagande leder till en motsägelse kommer inte visa att den är likformigt kontinuerlig. (Ditt antagande kan inte gälla för någon funktion eftersom du exempelvis tillåter att $x_1 = x_2$ vilket då säger att du vill att valen ska implicera att $0 \ge \epsilon$).

Oj, första formeln skall vara

$\exists \epsilon >0\forall \delta >0\exists x_1,x_2\in I=[-N,N]:\left|x_1-x_2\right|<\delta ->\left|f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\right|\ge \epsilon$

Jag fortsätter med

$$\begin{gathered} \left|x_{1n}-x_{2n}\right|<\delta \\ Lägger \delta =\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$n$}\right. \\ {x}_{1n}\in I \exists x_0\in I:\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{1k_n}=x_0 \\ ->\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{2k_n}=x_0 \\ \left|x_{2k_n}-x_0\right|=\left|x_{2k_n}-x_{1k_n}+x_{1k_n}+x_0\right|\le \left|x_{2k_n}-x_{1k_n}\right|+\left|x_{1k_n}-x_0\right|->0 \\ eftersom \left|x_{2k_n}-x_{1k_n}\right|\le \raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$k_n$}\right.<\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$n$}\right. \\ eftersom det finns ett n>P (begränsad mängd, det existerar ett supremum och ett infimum) \\ =>\left|f\left(x_{2k_n}\right)-f\left(x_0\right)\right|<\raisebox{1ex}{$\epsilon $}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right. \\ +\left|f\left(x_{1k_n}\right)-f\left(x_0\right)\right|<\raisebox{1ex}{$\epsilon $}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right. \\ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \\ <\epsilon \end{gathered}$$

Hoppas dethär ger lite mer insikt i min tankegång

Fast alltså det där fungerar inte alls, jag vet inte vad första formeln ska vara till? (Som sagt, det är inte en negeringen av påståendet att f är likformigt kontinuerlig på intervallet [-N, N], vilket gör att ett motsägelse bevis visar ingenting)

Utan notera att givet ett $\epsilon > 0$ så vet du utifrån antagandena för f att det existerar ett $N_1$ och $N_2$ sådant att

$x > N_1 \Rightarrow |f(x) - M| < \epsilon/2$

samt att

$x < N_2 \Rightarrow |f(x) - m| < \epsilon/2$

Låt nu $N = max\lbrace N_1, -N_2\rbrace$. Vi vet att enligt Heine-Cantors sats att f är likformigt kontinuerlig på intervallet $[-N - 1, N + 1]$. Så vi vet att på detta intervall så existerar det ett $\delta_1$ sådant att då $x_1, x_2 \in [-N - 1, N + 1]$ så innebär

$|x_1 - x_2| < \delta_1 \Rightarrow |f(x_1) - f(x_2)| < \epsilon$

Så vi låter $\delta = min\lbrace \delta_1, 1\rbrace$, kan du nu visa att detta $\delta$ även fungerar då $x_1, x_2$ ligger utanför intervallet $[-N, N]$?