Likhet med funktioner (Matematik/Universitet)

Qetsiyah skrev:
$1+1=2$

Jag tror det stämmer 😃

Vänta lite, har problem att skriva latex här...

Jag vill lösa denna ekvation med två okända ekvationer:

$\displaystyle 2f_1x+f_2(2xln(x)+x)=ln(x)$

Sedan samlar jag koefficienter:

$\displaystyle x(2f_1+f_2)+ln(x)(2xf_2)=ln(x)$

Sen säger jag att $2xf_2=1$ och $2f_1+f_2=0$ Sedan är ekvationen löst. Vad är det egentligen som tillåter mig att göra detta? Jag har aldrig reflekterat över detta tidigare. Kvartstår inte faktum att vi har två okända saker med endast ett samband?

Jag förstår inte.

Vad hindrar oss från att sätta f_2=1 och sedan lösa ut f_1?

Jag minns bara att man kunde lösa ekvationer genom att samla koefficienter sådär, minns inte från vart.

Att sätta f_2=1 är väl ett falskt antagande, f_2 måste inte va 1.

Qetsiyah skrev:
Jag minns bara att man kunde lösa ekvationer genom att samla koefficienter sådär, minns inte från vart.

Att sätta f_2=1 är väl ett falskt antagande, f_2 måste inte va 1.

Nä men jag menar att man får en lösning på det sättet.

Den lösningen ingår inte i din generella lösning, alltså är din generella lösning inte generell.

Ta till exempel:

$x f_{1} + x^{2} f_{2} = x^{2}$

om jag tolkar din generella lösningsmetod korrekt så menar du att f_1=0 och f_2=1 är den enda lösningen. Men en annanlösning är f_1=x och f_2=0.

Men jag kanske missförstår vad du menar.

Men jag hävdar alltså ditt påstående är felaktigt.

Asså ja, enligt mig skulle f_1 och f_2 bli så som du skriver. Verkar konstigt, ja, men jag minns tydligt att jag gjort så någon gång i någon kurs. Det kanske bara funkade för det specifika scenariot.

Så gör man väl ofta, typ delar in något komplext i real och imaginärdel eller jämför grader på x vid partialbråksuppdelning osv, men då brukar det ju vara underförstått att det är reella tal man letar efter, så egentligen har man flera villkor. Kan det vara något sånt du tänkte på?

Vid partialbråksuppdelning ja, men också när vi löser homogena linjära diffek med hjälp av ansatser kom jag på nu! I bägge fallen är dock koefficienter reella tal...

Ja då var det jag som tänkte fel, det går inte att resonera så som jag gjorde.

Funktionalekvationer på R-->R funktioner utan vidare restriktioner på inblandade funktioner är i allmänhet ett helvete, det är i alla fall mitt intryck. Mitt intryck är att det i princip finns två fall:

1) Den enda lösningen är f(x)=0 eller liknande trivial lösning. Det här brukar vara ganska enkelt att bevisa.

2) Lösningsmängden är oändlig och innefattar funktioner så märkliga att de hör hemma i en skräckfilm. Typ Hamel-funktionerna som löser Cauchy's funktionalekvation i dess generella form.

Så i allmänhet undviker jag funktionalekvationer utan restriktioner på lösningarna. Skräck är kul på TV, inte när det växer fram på papperet framför mig.