Limes av ...

Beräkna:

$\lim_{x \to - \infty} (\sqrt{x^{2} + 2 x} - x)$

Så här har jag gjort:

$\lim_{x \to - \infty} (\sqrt{x^{2} + 2 x} - x) \cdot \frac{(\sqrt{x^{2} + 2 x} + x)}{(\sqrt{x^{2} + 2 x} + x)}$

$\lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} + 2 x} + x}$ dividera med x

$\lim_{x \to - \infty} \frac{2}{\sqrt{1 + \frac{2}{x}} + 1} = 1$

Och detta svar är korrekt när $x \to + \infty$ men inte när $x \to - \infty$ .

Är det så för att funktionen är odefinerad i intervallet $(- 2, 0)$ ? Eller vad är anledningen till att man får fel svar på limes av f(x) när $x \to - \infty$ ?

Felet är att du tror att roten-ur och kvadrering tar ut varandra när du bryter ut x från nämnaren.

Om du bara vill beräkna gränsvärdet för negativa oändligheten räcker det att betrakta termerna i uttrycket. Roten går mot oändligheten, och -x gör det också.

Har du tänkt på att det bara går att dra roten ur icke-negativa tal (om man inte vill hamna i komplexa tal)? Har du tänkt på att "roten-ur-a" är "det positiva tal som..."?

Albiki skrev:
Felet är att du tror att roten-ur och kvadrering tar ut varandra när du bryter ut x från nämnaren.

Ja just det! Då blir det istället:

$\lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{|x| \sqrt{1 + \frac{2}{x}} + x}$ vilket i sin tur leder till att nämnaren blir 0 och därmed blir värdet på bråket odefinerad.

Laguna skrev:
Om du bara vill beräkna gränsvärdet för negativa oändligheten räcker det att betrakta termerna i uttrycket. Roten går mot oändligheten, och -x gör det också.

Då blir det $\lim_{x \to - \infty} (\sqrt{x^{2} + 2 x}) - \lim_{x \to - \infty} x = + \infty - (- \infty) = + \infty$

Vilket stämmer.

Svara

Visa senaste svar