limit

Tillägg: 3 dec 2021 22:49

Eller antagligen f(g(1))

Tillägg: 3 dec 2021 22:51

Nä, g(f(0))?

Tillägg: 3 dec 2021 23:05

Lite rörigt,  men du blandade själv ihop f och g.

Funktionen f är inte definierad för x = 1, men det gäller dock att $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)$ = 2.

Det gäller vidare att $\underset{x\to 0}{\lim }g\left(x\right)$ = 1. Och observera att g(x) är skilt från 1 då x är skilt från 0.

I den sats som du visar är det underförstått att f är kontinuerlig i L (som här är 1), så du kan inte använda den satsen direkt.

Det gäller i vårt fall ändock att $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(g\left(x\right)\right)$  = $\underset{x\to \underset{t\to 0}{\lim }g\left(t\right)}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1}{lim }f\left(x\right)$ = 2. Men en viktig punkt i ett rigoröst resonemang är att g(x) är skilt från 1 då x är skilt från 0 för att detta skall funka.

Enligt detta theorem limit till min fråga är not exis

Notera att i denna sats kräver att $\underset{x\to L}{\lim }f\left(x\right)=f\left(L\right)$, vilket innebär att f är kontinuerlig i x = L. Men i vårt exempel så är f inte definierad då x = 1, så vi kan inte säga att $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)=f\left(1\right)$, eftersom högerledet inte är definierat. Vi kan dock definiera om f och säga att f ges av uttrycket i problemtexten då x är skilt från 1 och att f(1) per definition är lika med 2 = $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)$. Då kan vi sedan använda satsen.

jag undrar om jag kan säga att den sats bara gäller när funktionen är kontinuerligt?

Satsen har som villkor att $\underset{x\to L}{\lim }f\left(x\right)=f\left(L\right)$, detta innebär ju att f är kontinuerlig i x = L.

Tänk efter om det går att modifiera satsen i det fall att $\underset{x\to L}{\lim }f\left(x\right)\ne f\left(L\right)$, dvs funktionen definierad i x = L men inte kontinuerlig där.