limit fråga med fakulteter

Hur ska jag tänka när jag löser denna?

$\lim_{n \to \infty} (\begin{matrix} 2 n \\ n \end{matrix})$

Jag kan skriva om detta som

$\lim_{n \to \infty} \frac{(2 n)!}{n! n!}$

vet dock inte hur man ska fortsätta

Ett sätt är att börja med att förenkla bort en n!-faktor från nämnaren:

$\lim_{n \to \infty} (\frac{(2 n)!}{n! n!}) = \lim_{n \to \infty} (\frac{(2 n) \cdot (2 n - 1) \cdot . . . \cdot (n + 1)}{n!})$

Nu kan vi tänka oss att vi skriver varje faktor i täljaren som ett eget bråk, med varsin faktor från nämnaren:

$\lim_{n \to \infty} (\frac{2 n}{n} \cdot \frac{2 n - 1}{n - 1} \cdot \frac{2 n - 2}{n - 2} \cdot . . . \cdot \frac{n + 2}{2} \cdot \frac{n + 1}{1})$

Vi kan förenkla respektive bråk så långt det går:

$\lim_{n \to \infty} (2 \cdot (\frac{n}{n - 1} + 1) \cdot (\frac{n}{n - 2} + 1) \cdot . . . \cdot (\frac{n}{2} + 1) \cdot (n + 1))$

Vi har här en serie termer som alla är större än ett, och sedan en ensam faktor $n+1$ . När n går mot oändligheten kommer denna ensamma faktor att bli enorm, och ingen annan faktor blir mindre än ett. Därför måste produkten gå mot oändligheten. :)

Tillägg: 8 jan 2022 12:02

Vi skulle redan vid det näst sista steget kunna konstatera att, när n går mot oändligheten, är alla täljare större än nämnarna, plus den sista reflektionen om faktorn $n+1$ , så behöver vi inte förenkla bråken så mycket.

Man kan enklast motivera detta med kombinatorik. Har man en kombinatorisk tolkning av binomet så inser man att det måste gå mot oändligheten.

Man kan använda den triviala olikheten**

$n \leq {2n \choose n }$

så då måste binomet gå mot oädnligheten.

**man kan visa detta med ett exempel. Binomet representerar antalet mängder med n element som är delmängder till en mängd med 2n element. Man kan visa att detta är mer eller lika med n genom en lista. Låt mängden med 2n element vara {1,2,3,...,2n}. Jag kan då demonstrera följande n distinkta delmängder med n element

{1,2,3,...,n}

{2,3,4,...,n+1}

{3,4,5,...,n+2}

...

{n, n+1, n+2, ..., 2n}

finns många fler men räcker att lista dessa för olikhetens skull.

hur förändras talet om man multiplicerar med en annan limit tex $2^{- n}$

Om du försöker lösa $\lim_{n \to \infty} \frac{n + 1}{2^{n}} s å f å r d u 0 d e t t a i n n e b ä r a t t m a n m å s t e j ä m f ö r a h e l a f u n k t i o n e n m e d 2^{n}$

kanske tänker helt fel nu men skulle man inte kunna se multiplikation med $2^{- n}$

som om man dividerar alla "parenteser" med 2, du har ju n parenteser.

$(\frac{2 n}{2 n}) (\frac{2 n - 1}{2 (n - 1)}) (\frac{2 n - 2}{2 (n - 2)}) . . . . (\frac{n + 1}{2}) D å f å r d u (1) (\frac{n - 0.5}{(n - 1)}) (\frac{n - 1}{(n - 2)}) . . . . (\frac{0.5 n + 0.5}{1}) Ä v e n d e t t a u t t r y c k e t g å r j u m o t o ä n d l i g h e t e n$

Svara

Visa senaste svar