Lin.Alg Linjärt (o)beroende

Hej!

Jag försöker lösa en gammal tentauppgift som ser ut som följande:

Om jag förstår teorin så ska jag först se ifall vektorerna kan skrivas som en icke-trivial linjär kombination som är lika med nollvektorn. Med hjälp av Gausseliminering och sedan införa en konstant (lambda) för att se ifall man kan uttrycka t.ex w = λ1*s+λ2*u+λ3*v. Men jag lyckas inte lösa ut något via den omfattande gauss-elimineringen. Tänker jag fel eller har jag bara räknat fel vid gausselimineringen?

Du verkar tänka korrekt, men utan att se exakt vad du gjort är det svårt att veta.

Hursomhelst, börja med att kontrollera om vektorerna är linjärt oberoende genom att gausseliminera matrisen. Antalet pivotelement avgör matrisens rang. Om rangen är mindre än 4 är kolonnerna inte linjärt oberoende.

Om du dessutom gör en fullständig eliminering, dvs sätter alla pivotelement till 1 (och resten 0) ser du direkt hur den sista kolonnen förhåller sig till övriga (det kostar kanske mer möda än det är värt, men det är ack så elegant). Att det fungerar beror på att kolonnernas inbördes förhållanden inte ändras av elementära radoperationer. Om du hittar någon kombination som bygger en kolonn av de andra redan på vägen är det alltså tillåtet att använda den.

$\left(\begin{array}{cccc}4 & 1 & 2 & 1 \\1 & 2 & -1 & 0 \\5 & 0 & 3 & 1 \\-3 & -2 & -1 & -1 \end{array}\right)$ blir $\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & -\frac{1}{4} \\0 & 1 & 0 & \frac{1}{2} \\0 & 0 & 1 & \frac{3}{4} \\0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$

Och vi ser direkt ur kolonn 4 att

$-1/4s+1/2u+3/4v=w$

D4NIEL skrev:
Du verkar tänka korrekt, men utan att se exakt vad du gjort är det svårt att veta.

Hursomhelst, börja med att kontrollera om vektorerna är linjärt oberoende genom att gausseliminera matrisen. Antalet pivotelement avgör matrisens rang. Om rangen är mindre än 4 är kolonnerna inte linjärt oberoende.

Om du dessutom gör en fullständig eliminering, dvs sätter alla pivotelement till 1 (och resten 0) ser du direkt hur den sista kolonnen förhåller sig till övriga (det kostar kanske mer möda än det är värt, men det är ack så elegant). Att det fungerar beror på att kolonnernas inbördes förhållanden inte ändras av elementära radoperationer. Om du hittar någon kombination som bygger en kolonn av de andra redan på vägen är det alltså tillåtet att använda den.

$\left(\begin{array}{cccc}4 & 1 & 2 & 1 \\1 & 2 & -1 & 0 \\5 & 0 & 3 & 1 \\-3 & -2 & -1 & -1 \end{array}\right)$ blir $\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & -\frac{1}{4} \\0 & 1 & 0 & \frac{1}{2} \\0 & 0 & 1 & \frac{3}{4} \\0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$

Och vi ser direkt ur kolonn 4 att

$-1/4s+1/2u+3/4v=w$

Attans va fint det blev. Jag måste ha gjort något fel med radoperationerna men får rätt svar nu!

Tusen tack!

Svara