3 svar
173 visningar
1PLUS2 är nöjd med hjälpen
1PLUS2 277
Postad: 27 feb 2020 07:54

Lineär algebra

En ljusstråle som utgår från punkten 3,-2,-1reflekteras mot planet x-2y-2z=0

Den reflekterande strålen går genom punkten 4,-1,-6.

I vilken punkt träffar ljusstrålen planet?

(projektionsformeln får inte användas)

Hur ska jag tänka? 

Jag har tänkt följande:

- Att försöka hitta linjerna för "strålarna"

- hitta linjen för projektionen på normalen

- beräknat linjen som går genom de två kända punkterna, vilket har medfört:  L: x=3+ty=-2+tz=-1-5t    skärning med planet i punkten: 2,-3,4

(här har jag dock fått slut på ideer)

Dr. G 6623
Postad: 27 feb 2020 10:16

Punkten i planet är

(2y + 2z,y,z)

Vektorn därifrån till (3,-2,-1) har samma (cosinus för) vinkel till normalen som därifrån till (4,-1,-6).

Det borde gå att härja ut y och z från detta. 

Jroth 1227
Postad: 27 feb 2020 10:42 Redigerad: 27 feb 2020 10:43

Edit: Läste inte frågan ordentligt, det här räknas förmodligen som en projektion i första steget eftersom n^=n||n||\hat{n}=\frac{\vec{n}}{||\vec{n}||}

Låt Q'=Q-2(Q·n^)n^Q'=Q-2(Q\cdot\hat{n})\hat{n}

PQ'=Q'-P\vec{PQ'}=Q'-P

Nu ställer vi oss i P och går t steg längs PQ'\vec{PQ'} tills vi hamnar i planet.

(P+tPQ')·n=0(P+t\vec{PQ'})\cdot \vec{n} = 0

Vår sökta punkt blir (2,1,0)(2,1,0)

dr_lund 1213
Postad: 27 feb 2020 21:07 Redigerad: 27 feb 2020 21:51

Jag väljer att bygga min tankegång utifrån ortsvektorer. Minns att O:(0,0,0) ligger i planet.

Känner mig bekväm med detta sätt att resonera. Beteckningar enligt figur.

Det innebär att OQ¯=4-1-6\overline{OQ}=\begin{bmatrix} 4\\-1\\-6\end{bmatrix}. Vektor v¯=(OQ¯e)e\overline{v}=(\overline{OQ}\bullet \mathbf{e})\mathbf{e}, där enhetsnormalvektorn e=131-2-2\mathbf{e}=\dfrac{1}{3}\begin{bmatrix} 1\\-2\\-2\end{bmatrix}

Spegelpunkten Q'Q\prime bestäms genom OQ'¯=OQ¯-2v¯\overline{OQ\prime}=\overline{OQ}-2\overline{v}, dvs

OQ'¯=4-1-6-22-4-4=072\overline{OQ\prime}=\begin{bmatrix} 4\\-1\\-6\end{bmatrix}-2\begin{bmatrix} 2\\-4\\-4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\7\\2\end{bmatrix}, varav Q'=(0,7,2)Q\prime=(0,7,2).

Inkommande linje L har riktningsvektor Q'P¯=3-9-3\overline{Q\prime P}=\begin{bmatrix} 3\\-9\\-3\end{bmatrix}.

Linjen L parametriseras: x=3t,y=7-9t,z=2-3tx=3t, y=7-9t,z=2-3t.

Sökta punkten X fås slutligen genom att sätta in parametriseringen i planets ekvation:

3t-2(7-9t)-2(2-3t)=03t-2(7-9t)-2(2-3t)=0, varav t=2/3t=2/3, och X=(2,1,0)X=(2,1,0).

Svara Avbryt
Close