5 svar
121 visningar
1PLUS2 är nöjd med hjälpen
1PLUS2 277
Postad: 10 mar 2020 18:36

Lineär algebra - determinanten-volymprodukt

Om e1,e2,e3är en bas för rummet och vi vill beräkna volymen av en parallellepiped som spänns upp av tre vektorer, då fås volymprodukten (skalär-trippelprodukten) som:  

Vu,v,w=x1y1z1x2y2z2x3y3z3×Ve1,e2,e3

Om basen är ortonormerad och positivt orienterad blir Ve1,e2,e3=1

Hur räknar man med denna metoden när basen inte är ortonormerad samt positivt orienterad? Jag antar att jag kommer att få en konstant multiplicerat med basen, som kommer att ge en uppskalad vektor?

1PLUS2 277
Postad: 10 mar 2020 21:20

Om basen är ortonormerad och negativt orienterad, är då Ve1,e2,e3=-1??

PATENTERAMERA Online 2431
Postad: 10 mar 2020 23:42

Ja, den blir -1.

PATENTERAMERA Online 2431
Postad: 11 mar 2020 00:07 Redigerad: 11 mar 2020 00:08

Man kan visa att V(e1e2e3)2 = det(g), där g är en matris som definieras av

gij = ei • ej, vilket ger

V(e1e2e3) = sdet(g),

där s = 1 för positivt orienterad bas och s = -1 för negativt orienterad bas.

1PLUS2 277
Postad: 11 mar 2020 10:20

Skulle du kunna illustrera hur beräkningen går till? 

PATENTERAMERA Online 2431
Postad: 11 mar 2020 12:34

Uttryck ei (i = 1, 2, 3) i en positivt orienterad ortonormerad bas B = {b1b2b3}.

ei = kAikbk, (Aik = ei • bk).

Då gäller att 

V(e1e2e3)2 = det(A)det(A) = det(A)det(AT) = det(AAT), där vi utnyttjat standardregler för determinantberäkningar.

Vi noterar nu att (AAT)ijkAik(AT)kjkAikAjk = ei • ej = gij.

Svara Avbryt
Close