Lineär transformation F har diagonaliserbar matris

Hej! Jag har klurat på ett problem i lineär algebra ett bra tag nu och behöver nog lite hjälp på traven. Uppgiften är följande:

Låt $V$ vara ett $n$-dimensionellt inreproduktrum, där $n>0$, och låt $F: V\to V$ vara den lineära transformationen

där $b,c \in V$, . Visa att det finns en bas för V bestående av egenvektorer av F och hitta matrisen av F med anseende på någon sådan bas.

Jag har försökt mig på den första delen av uppgiften genom att använda spektralsatsen, men jag kan inte få det till att F skulle vara symmetrisk. Har även försökt att hitta en matris av F med anseende på  godtycklig bas för V, inte heller här har jag lyckats. Jag vet inte riktigt hur jag ska anggripa uppgiften på något annat sätt. Alla tips på hur jag kan ta mig vidare uppskattas!